Преобразования Лоренца

В СТО между координатами и временем в двух ИСО существуют соотношения, называемые преобразованиями Лоренца. Если СО движутся друг относительно друга вдоль оси ОХ, то их можно записать в виде, представленном справа.

При условии  v<<c они переходят в преобразования Галилея.

С учетом преобразований Лоренца принцип относительности можно сформулировать следующим образом: законы, описывающие любые физические явления, во всех ИСО должны иметь одинаковый вид. Этот вывод называется релятивистской инвариантностью законов физики.

10. Первый постулат: законы физики имеют одинаковую форму во всехинерциальных системах отсчета. Этот постулат явился обобщением принципа относительности Ньютона не только на законы механики, но и на законы остальной физики. Первый постулат — принцип относительности.

Второй постулат: свет распространяется в вакууме с определенной скоростью с, не зависящей от скорости источника или наблюдателя. 

Эти два постулата образуют основу теории относительности А. Эйнштейна.

 Инвариантным, как мы покажем, является выражение

,

которое называют интервалом между событиями.

11. Преобразования Лоренца

В СТО между координатами и временем в двух ИСО существуют соотношения, называемые преобразованиями Лоренца. Если СО движутся друг относительно друга вдоль оси ОХ, то их можно записать в виде, представленном справа.

При условии  v<<c они переходят в преобразования Галилея.

С учетом преобразований Лоренца принцип относительности можно сформулировать следующим образом: законы, описывающие любые физические явления, во всех ИСО должны иметь одинаковый вид. Этот вывод называется релятивистской инвариантностью законов физики.

12. В релятивистской механике кинетическая энергия частицы Т определяется как разность между полной энергией Е и энергией покояЕ_o этой частицы:

Т = Е − Е_o,

где

E = mc²/√{1 − β²}; E_o = mc².

   Тогда формула T имеет вид

T = mc²(1/(1 − β²) − 1). (3)

Величина E, равная 

,      (14.17) где  - отношение скорости частицы к скорости света в вакууме.

называется полной релятивистской энергией системы.

Изменение полной релятивистской энергии системы равняется работе всех сил, действующих на эту систему.

Кинетическая энергия свободного тела представляет собой разность между полной энергией тела и энергией покоя:  .

Т.о. при малых скоростях получаем известную формулу  .

В этом случае кинетическая энергия значительно меньше энергии покоя. В случае релятивистских частиц - наоборот, можно считать, что полная энергия частицы равна кинетической энергии.

Полная энергия и импульс частицы определяются соотношениями

E = mc2γ,	(3)
p = γmv = vE/c2.

    Полная энергия и импульс частицы зависят от системы отсчетаю. Масса не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Она является лоренцевым инвариантом. Полная энергия импульс и масса связаны соотношением

E2 - p2c2 = m2c4,

13. уравнение может быть записано в привычной форме Второго закона Ньютона, если ввести фиктивные силы инерции:

•  — переносная сила инерции

•  — сила Кориолиса

Сила инерции (также инерционная сила) — термин, широко применяемый в различных значениях в точных науках, а также, как метафора, в философии, истории,публицистике и художественной литературе.

14. Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Вывод

Момент инерции, по определению:

Радиус-вектор   можно расписать как разность двух векторов:

,

где   — радиус-вектор расстояния между старой и новой осью вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид:

Вынося за сумму  , получим:

Поскольку старая ось проходит через центр масс, то суммарный импульс тела будет равен нулю:

Тогда:

Откуда и следует искомая формула:

,

где   — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

15. Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

,

где:

• m_i — масса i-й точки,

• r_i — расстояние от i-й точки до оси.

Вывод

• Момент инерции, по определению:

• Радиус-вектор   можно расписать как разность двух векторов:

• ,

• где   — радиус-вектор расстояния между старой и новой осью вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид:

• Вынося за сумму  , получим:

• Поскольку старая ось проходит через центр масс, то суммарный импульс тела будет равен нулю:

• Тогда:

• Откуда и следует искомая формула:

• ,

• где   — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна

Интегрируя, получим

Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m

Ось цилиндра

Шар радиуса r и массы m

Ось проходит через центр шара

16.

Материальная точка массы m

На расстоянии r от точки, неподвижная

Физический смысл момента инерции – это мера инертности тела при вращательном движении.

Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна

Интегрируя, получим

Теорема Штейнера: Момент инерции тела относительно произвольной оси равен массе тела, умноженной на квадрат расстояния от оси вращения до центромасс тела, плюс момент инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через его ось центромасс.

Теорема Штейнера J = ma (ст.2) + J центромасс.

17. Моментом импульса (моментом количества движения) материальной точки относительно оси называется векторная величина L = r * P ; где все величины — векторы ; r — расстояние от оси вращения до этой точки. Импульс точки: P = mv.

закон изменения момента импульса для каждой частицы системы:

(4.10)

и просуммируем данные - уравнений:

, (4.11)

где - главный вектор момента внешних сил и использована теорема о сумме моментов внутренних сил. С учетом определения (4.9), получаем

.

Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) — один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

24. Консервативные силы — действующие силы при перемещении тела из одного положения в другое не зависит от формы траектории движения, а зависит от начального и конечного положения тела. Для консервативной или потенциальной силы работа по перемещению тела по замкнутой траектории равна нулю.

Потенциальная энергия — механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Пространство, в котором действуют консервативные силы, называется потенциальным полем. Каждой точке потенциального поля соответствует некоторое значение силы F, действующей на тело, и некоторое значение потенциальной энергии U. Значит, между силой F и U должна быть связь , с другой стороны, dA = –dU, следовательно Fdr=-dU, отсюда: 

Проекции вектора силы на оси координат:  Вектор силы можно записать через проекции:  , F = –grad U, где  .

34. Идеальным называется газ, в котором межмолекулярные силы взаимодействия отсутствуют.