2.1. Производная функции. Её физический и геометрический смысл.

Пусть функция определенна в окрестности точки .

Тогда , где и .

Производная функции в точке есть предел отношения приращения функции ( ) и приращения аргумента ( ), когда .

Дифференцируемость.

Механический смысл производной.

Производная – это скорость изменения функции.

Геометрический смысл производной.

Производная – это тангенс наклона угла касательной к график функции в данной точке к оси .

;  

при

 

Вычисление производной.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство:

при

при , следует

Обратное неверно.

Пример:

1)

;

;

; ;

Таблица производных.

2.2. Правила дифференцирования.

1) Производная от суммы равна сумме производных:

Доказательство:

2) Постоянный множитель выносится за знак производной: .

3) Производная произведения: .

Доказательство:

4) Производная дроби: .

Доказательство:

Вывод формул для производных.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

Теорема о производной сложной функции.

Теорема.

Доказательство:

Пусть , определена и непрерывна в окрестности точки ( , определена и непрерывна в окрестности точки . Тогда .

Это верно при условии, что каждая из функций дифференцируема.

Теорема о производной обратной функции.

Теорема.

Доказательство:

Пусть дифференцируемая в точке ( ). - обратная к . Обратная функция существует если монотонная функция. Тогда

Производная сложной степенной функции.

Прием логарифмического дифференцирования.

Производная неявной функции.

– общий вид неявно заданной функции.

Производная параметрически заданной функции.

Примеры параметрических функций:

1)   

2)

3)

     – дифференцируемы.

Пример:

Гиперболические функции.

(гиперболический синус)	arsh x (ареа синус)
(гиперболический косинус)	arсh x (ареа косинус)
(гиперболический тангенс)	arth x (ареа тангенс)
(гиперболический котангенс)	arcth x (ареа котангенс)

Схематичные графики гиперболических функций:

Производные высших порядков.

Механический смысл второй производной – это ускорение.

Геометрический смысл второй производной – отвечает за вогнутость или выпуклость графика функции.

2.3. Дифференциал.

– гладкая, непрерывная и дифференцируемая.

Дифференциалом называется главная (линейная) часть приращения функции.

если

Свойства дифференциала:

1)

2)

3)

4)

Доказательство для :

Остальные доказываются аналогично.

Инвариантность формы дифференцирования.

Форма дифференциала функции (производная умножить на дифференциал аргумента), не зависит от того, является ли аргумент функции независимой переменной или функций другого аргумента.