1.3. Предел функции. Свойства пределов
Число
b называется пределом функции в точке
а, если для любой
–
окрестности точки b существует
–
окрестность точки а.
–
предел
функции при
,
равный
b.
Число
b называется пределом функции при
неограниченном возрастании аргумента
.
Для любого
существует
такое N, и если
,
то
.
Примеры:
y =
f(x) =
y =
f(x) = x2
Пример:
y
=
,
когда
,
Неопределенности:
Раскрытие неопределенностей.
Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.
Если функция f(x) имеет предел в точке a ,то она ограниченна в некоторой окрестности точки a.
Доказательство:
Пусть
,
тогда
,
отсюда получаем
.
Обратное неверно.
Контрольный пример:
в
окрестности точки 0.
–
не
существует.
Бесконечно малой величиной при называется функция, предел которой в точке a равен 0.
–
бесконечно
малая величина (б.м.в.).
–
бесконечно
малая величина при
–
бесконечно
малая величина при
s
Бесконечно большой величиной при называется функция неограниченно возрастающая.
–
бесконечно
большая величина (б.б.в.)
Любая бесконечно большая величина неограниченна.
Теорема о связи предела и бесконечно малой величины.
Если
,
то
,
где
–
бесконечно малая величина. Или
.
Доказательство:
Допустим,
что
,
тогда
.
,
значит
,
–
бесконечно
малая величина.
Пример:
f(x) = x2 + 1
Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой величиной.
Если
–
бесконечно малая величина при
– бесконечно большая величина.
Если
–
бесконечно большая величина при
–
бесконечно малая величина.
Доказательство:
Допустим,
что
–
бесконечно малая величина при
,
то
,
что
.
Значит
Следствие:
и
Свойства бесконечно малых величин:
1)
Алгебраическая сумма бесконечно малых
величин есть бесконечно малая:
Доказательство:
или
,
значит
–
бесконечно малая величина.
2)
Произведение бесконечно малой величины
на ограниченную функцию есть бесконечно
малая:
,
где f(x) – ограниченная.
Доказательство:
,
значит
–
бесконечно малая величина.
3)
Частное от деления бесконечно малой
величины на любую функцию, предел которой
не равен 0, есть бесконечно малая:
при
и
.
Теоремы о пределах.
Теорема
1. Предел
суммы равен сумме пределов, если они
существуют:
Доказательство:
Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:
Получаем
Теорема
2. Предел
произведения равен произведению
пределов, если они существуют:
Доказательство:
Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:
Получаем
Теорема
3. Предел
частного равен частному пределов:
.
При условии: все пределы существуют и
.
Доказательство:
Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:
;
Получаем:
Теорема
4. Предел
сохраняет знак неравенства.
Если
.
Доказательство:
Следовательно,
Следствие:
Теорема
5. Если
функция ограниченна и монотонна на (a,
b), то она имеет предел:
Теорема 6. Критерий Коши.
Если
,
тогда
и только тогда
.
Приемы раскрытия неопределенностей.
1)
Выделение общего множителя (для
неопределенности
).
Пример:
2) Умножение на сопряженное выражение (для неопределенности ).
Пример:
3)
Выделение главной части (для неопределенности
).
Примеры:
;
Теорема.
Первый
замечательный предел
.
Доказательство (геометрическое):
Так
как
,
то
.
Следствия из теоремы:
1)
2)
3)
4)
5)
Теорема.
Второй
замечательный предел
.
Доказательство:
Бином Ньютона:
,
где
.
Используем
бином Ньютона для доказательства
неравенства:
Отсюда
заключаем, что
,
а значит
.
Следствия из теоремы:
1)
2)
3)
4)
Доказательство:
Если
принять, что
,
то
Примеры:
1)
Учитывая,
что
.
2)
.
Отсюда A = e.
Учитывая,
что
.
Сравнение бесконечно малых величин (б.м.в.):
Пусть
–
бесконечно малые величины при
,
т.е.
.
Определение
1.
Если
,
то
–
б.м.в. одного порядка малости.
Определение
2.
Если
,
то
–
б.м.в. более высокого порядка, чем
.
–
более
высокого порядка, чем
("о"
– читается как "о малое").
–
более
низкого порядка, чем
("О"
– читается как "О большое").
Определение
3.
Если
,
то
и
эквивалентны
–
.
Следствие
из определения 3:
при
.
Теорема.
Если
и
эквивалентны
(
)
, то
и
.
Доказательство:
Пусть – бесконечно малые величины при и они эквивалентны ( ).
Тогда
.
Определение
1.
Пусть функция
определена
в окрестности точки
,
тогда функция непрерывна в
,
если
.
Определение
2.
Функция
непрерывна,
если
.
Определение
3.
Функция
непрерывна
в точке
,
если
.Приращение
аргумента
.
Приращение
функции
.
Определение
4.
Функция
непрерывна
в точке
,
если
.
Если
функция не является непрерывной в точке
,
то эта точка – точка разрыва. Если
функция непрерывна на отрезке (a, b), то
функция неразрывна на отрезке (a, b).
Определение
5.
Функция
непрерывна
в точке
справа,
если
.
Определение
6.
Функция
непрерывна
в точке
слева,
если
.
Функция
непрерывна на отрезке
,
если она непрерывна в каждой внутренней
точке этого отрезка и односторонне
непрерывна на его концах.
Теоремы о непрерывных функциях.
Теорема 1. Сумма, произведение и частное непрерывных функций – непрерывны (кроме случая, когда знаменатель обращается в нуль).
Доказательство:
Пусть
и
.
Тогда
.
Доказательство для умножения и деления аналогично доказательству для сложения.
Теорема 2. Композиция непрерывных функций непрерывна:
Функция
непрерывна
в точке
,
если g(x) непрерывна в точке
и
f(y) непрерывна в
.
Теорема 3. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.
Разрывы функции.
Разрыв первого рода.
Пусть
и
существуют:
I.
Если
,
то
в точке
функция
испытывает разрыв скачок первого рода.
Примеры:
–
целая
часть числа x.
–
дробная
часть от числа x.
II.
Если
,
то
в точке
функция
испытывает устранимый разрыв первого
рода.
Примеры:
1)
2)
3)
4)
Разрыв второго рода.
Функция
испытывает разрыв второго рода, если
–
не
существует.
Свойства функции, непрерывной на замкнутом отрезке.
Пусть функция непрерывна на замкнутом отрезке .
Т
еорема
1.
Функция принимает наибольшее и наименьшее
значение на
.
Или
,
где
.
Т
еорема
2.
Функция принимает все свои промежуточные
значения на
.
Или
,
где
–
область значений.
Т
еорема
3.
Если функция принимает на концах отрезка
значения
разных знаков, то внутри отрезка найдется
точка, в которой
.
Или
.