5. Пределы и непрерывность. Числовая последовательность и ее предел. Определение функции, ее непрерывность на языке "эпсилон-дельта" и языке пределов, равномерная непрерывность.

Если каждому значению n = 1,2,… ставится в соответствие по некоторому закону вещественное число x_n, то множество занумерованных вещественных чисел x₁, x₂,…, x_n,.. = {x_n} называется числовой последовательностью. Это частный случай функции, аргумент которой принимает дискретные значения.

Если даны 2 последовательности {x_n} и {y_n}, то последовательность {x_n + y_n} называется их суммой, {x_n * y_n} – произведением, {x_n / y_n} для  y_n  0 – частным.

Предел

Число A называется пределом последовательности при если  >0  такой номер N₀>0:  n > N₀:

В любой окрестности точки A находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Если существует конечный , то последовательность называется сходящейся. В противном случае (если A =  или lim не ) последовательность называется расходящейся.

Точка x₀ называется предельной точкой множества M, если в  окрестности x₀ содержится бесконечное множество точек множества M.

Если последовательность имеет несколько предельных точек, то значение самой большой предельной точки называется верхним пределом последовательности , а значение самой меньшей предельной точки называется нижним пределом последовательности .

Пример. 1, 1-1/2, -1, 2, 1, 1-1/4, -2, 3, 1-1/8, -3, … n, 1-1/2n, -n, … Последовательность имеет 3 предельные точки +; 1; - – неконечный, – неконечный. Последовательность расходящаяся. Последовательность может быть сходящейся, только если она имеет единственную точку (число). Пример. {2-1/n,3+1/(2n)} нижний предел=2, верхний предел =3

Последовательность называется ограниченной, если  M>0, что для

Т: Из всякой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Т: Если последовательность сходится, то она является ограниченной. Обратное неверно.

Пример. -1, 1, -1, 1, …, (-1)n – ограничена, т.к. Но не сходится, так как 2 предельные точки

Если , то последовательность {x_n} называется бесконечно малой.

Если – бесконечно большой.

Связь неограниченная бесконечно большая: бесконечно большая  неограниченная Неограниченный: для M > 0  n0N: |xn|  M Бесконечно большая: для >0 N0: для всех n>N0: |xn| >  n = N0+1 |xn| >   M  n бесконечно большая  неограниченная. Обратное не верно:
	xn=n*sin n неограниченная не бесконечно большая

Последовательность называется фундаментальной, если для >0 N₀: n>N₀ и p=1,2,… |x_n+p-x_n|<

Критерий Коши (необ-е и дост-е усл-е) Последовательность называется сходящейся тогда и только тогда, когда она является фундаментальной.

Функция

Функцией y = f(x) называется закон, по которому каждому значению xD(f)R ставится в соответствие единственное действительное число yR. При этом множество значений аргумента D(f) называется областью определения функции, а множество значений {y | y = f(x), xD(f)}=E(f) называется множеством значений функции.

Функция может быть задана аналитически (то есть формулой), таблично или графически.

y=x²

Если функция задана таблично, то чтобы найти значение функции для промежуточных значений аргумента применяют интерполяцию, заменяя функцию линейной, квадратичной на участке между двумя значениями аргумента.

Пусть точка x₀ является предельной точкой области определения функции, тогда

 для  > 0  > 0:  xD(f)  U_(x₀) \ {x₀}: f(x)  U_(A)

(U_ – -окрестность).

Зачем \ {xn}. Например f(x0=0) = 3  U(1)

Левосторонний предел

Пусть f(x) определена для  x(x₀-, x₀), тогда

если для  > 0  > 0:  x: f(x) U_ (A)

Правосторонний предел

Пусть f(x) определена для  x(x₀, x₀+), тогда

если для  > 0  > 0:  x: f(x) U_ (A)

Двусторонний предел

Непрерывность

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если:

1. 

2. .

На языке пределов: функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если она:

1) определена в этой точке;

2)

На языке ε и δ: функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если:

1)

2) для  > 0  > 0:  xD(f)  U_(x₀) : | f(x) – f(x₀)| < ε.

1. Если x0 является предельной точкой D(f) f (x0+) = A <  f(x0–) = B <  x0 – разрыв I рода, скачок

2 . Если хотя бы один из односторонних пределов =  или не , то x0 – точка разрыва II рода

Разрыв называется устранимым, если существуют и конечны. (Пример: y = x² / |x|)

Если функция непрерывна в каждой точке множества X, то она непрерывна на множестве X.

Исследовать на непрерывность, точки разрыва Функция элементарна. В своей области определения непрерывна 0 – предельная точка для ОДЗ. Но функция не определена в 0 это точка разрыва. – разрыв II рода.

Пример – неэлементарная функция

Локальные и глобальные свойства непрерывных функций

1) Если функция f(x) непрерывна в точке x₀, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки

2) Если f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ и непрерывна в точке x₀ и f(x₀)>0, то  такая окрестность U(x₀) точки x₀: f(x) > 0

3)Теорема Больцано-Коши [о нуле]. Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], выполняется f(a)*f(b) < 0

тогда с[a, b] f(c)=0

4)Теорема Больцано-Коши [о промежуточном значении]. Пусть функция f(x) непрерывна на [a;b], f(a) = А, f(b) = B, C – между А и В, тогда с[a, b]: f(с) = C

5)Теорема Вейерштрасса 1. Если функция непрерывна на сегменте [a, b], то она ограничена на нем.

6)Теорема Вейерштрасса 2. Если функция непрерывна на [a, b], то она достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений.

7)Все элементарные функции непрерывны в своей области определения

x^, a^x, log_ax, sin x, cos x, tg x, ctg x, arcsin x, arcos x, arctg x, arcctg x – основные элементарные функции.

Элементарные функции из основных элементарных получаются с помощью конечного числа операций сложения, деления, умножения, суперпозиции.

Сумма , произведение , частное , суперпозиция есть функция непрерывная.

8)

Функция Дирихле определена, но разрывна во всех точках

Функция y = f(x) называется равномерно непрерывной на множестве М, если  > 0  > 0:  x₁, x₂  M из |x₁ – x₂|< δ => |f(x₁)-f(x₂)|< ε. Всякая равномерно непрерывная функция является непрерывной в каждой точке множества М. Обратное неверно. Если функция непрерывна на множестве М, то для данного ε нужное δ может быть своим для каждой т.x₁. В случае равномерной непрерывности для заданного ε δ, обслуживающее все множество М.

Теорема Кантора. Если функция непрерывна на [a, b], то она равномерно непрерывна на [a, b].