
- •3. Системы линейных алгебраических уравнений. Условие сущ-ния решения, решение систем по формулам Крамера и методом исключений, фундаментальная система реш-й.
- •5. Пределы и непрерывность. Числовая последовательность и ее предел. Определение функции, ее непрерывность на языке "эпсилон-дельта" и языке пределов, равномерная непрерывность.
- •6, Производная функция одной переменной. Определение, геометрический смысл, простейшее правило вычисления производной. Производная сложной функции. Формула Тейлора.
- •8. Определенный интеграл и его геометрический смысл (задача о площади криволинейной трапеции). Приближенное вычисление определенных интегралов, формулы трапеций и Симпсона.
- •12. Закон больших чисел и центральная предельная теорема.
- •13. Регрессионный анализ: линейная и нелинейная регрессия, статистические свойства оценок коэффициентов регрессии.
- •14. Проверка гипотез. Критерий χ2. Ошибки 1-го и 2-го рода. Лемма Неймана-Пирсона.
- •15. Метод максимального правдоподобия. Точечное и доверительное оценивание параметров гауссовского распределения.
- •Вопрос 16: Тренд, сезонная и циклическая компоненты временного ряда.
- •17.Модели тренда (свойства логистической и линейной кривой).
- •18. Методы выделения сезонной компоненты временного ряда (метод скользящих средних).
- •19. Приведение задач линейного программирования к каноническому виду. Методы искусственного базиса.
- •I метод искусственного базиса
- •II метод искусственного базиса
- •20. Симплексный метод (см), основные принципы, алгоритм.
- •21. Двойственный симплекс-метод, основные принципы, алгоритм. Случаи, когда удобно применять двойственный симплексный метод. (дсм)
- •22. Задача максимизации прибыли при заданных ценах на продукцию и ресурсы. Анализ оптимальных решений с помощью множителей Лагранжа.
- •23. Транспортная задача замкнутого типа: постановка, существование решения, метод потенциалов.
- •24. Транспортная задача незамкнутого типа. Постановка, способ сведения к задаче замкнутого типа(с обоснованием). Алгоритм решения.
- •25. Теорема о необходимых и достаточных условиях оптимальности смешанных стратегий. Метод сведения решения игр к решению задачи линейного программирования.
- •26. Функция выигрыша в матричных играх без седловой точки. Смешанные и оптимальные смешанные стратегии. Метод сведения решения матричных игр к задаче линейного программирования.
- •27. Методы наискорейшего и координатного спуска для минимизации выпуклой функции без ограничений. Их алгоритмы и геометрическая интерпретация
- •28. Типичные производственные функции с несколькими ресурсами: линейная пф, степенная пф, пф с постоянными пропорциями. Коэффициенты эффективности использования ресурсов для этих типов функций
- •1. Линейная производственная функция:
- •2. Степенная производственная функция:
- •3. Производственная функция с постоянными пропорциями:
- •33. Модель с фиксированным размером заказа
- •34. Модель с фиксированным уровнем запасов
- •35. Двухуровневая система управления товарными запасами, (s,s)-система.
- •36. Математическая модель и схема статического моб в денежном выражении. Методологические вопросы построения моб.
- •Методологические вопросы построения моб Классификация отраслей
- •Метод учета продукции
- •Способ оценивания продукции
- •Общие предпосылки модели моб
- •Дополнение ограничений моб по производственным ресурсам
- •37. Свойства коэффициентов прямых материальных затрат в моб. Определение косвенных и полных материальных затрат.
- •38. Основные понятия теории баз данных: объект, свойство, связь. Диаграмма «сущность-связей». Логическая, физическая, концептуальная схемы базы данных
- •39. Реляционная модель данных. Основные понятия: отношение, кортеж, домен. Получение нормальных форм отношений из диаграммы «сущность-связь». Реляционная алгебра и ее основные понятия.
- •Первая нормальная форма
- •Вторая нормальная форма
- •Третья нормальная форма
- •Нормальная форма Бойса-Кодда
- •Четвертая нормальная форма
- •Пятая нормальная форма
- •40. Реляционная алгебра, основные операторы реляционной алгебры. Связь языка sql с операторами реляционной алгебры.
- •41. Реляционная модель данных. Теория нормализации. Нормальные формы: первая, вторая, третья, Бойса-Кодда.
- •42. Физическая организация баз данных. Файлы: последовательные, с прямым доступом, с хеш-адресацией, индексно-последовательные, в-деревья.
- •43. Назначение и основные компоненты операционных систем. Управление памятью. Управление внешними устройствами. Защита данных. Интерфейс прикладного программирования. Пользовательский интерфейс.
- •Пользовательский интерфейс
- •47. Функция организационного управления: сбор и первичная обработка данных, моделирование ситуации выбора, прогнозирование неуправляемых параметров
- •Сбор и первичная обработка данных
- •Моделирование ситуации выбора
- •Идентификация модели ситуации выбора (прогнозирование неуправляемых параметров)
- •48. Функция организационного управления: планирование, принятие решения организация исполнения решения, контроль, координация.
- •Планирование (вычисление управляемых параметров)
- •Принятие решений
- •Организация исполнения решений
- •Контроль
- •Координация
- •Вопрос 11. 20
- •Вопрос 16: Тренд, сезонная и циклическая компоненты временного ряда. 31
27. Методы наискорейшего и координатного спуска для минимизации выпуклой функции без ограничений. Их алгоритмы и геометрическая интерпретация
Основные определения выпуклого программирования
Предположим, что имеется функция многих
переменных
.
Производной
вектора
в точке х называется следующий предел:
.
Абсолютная величина производной по направлению есть скорость изменения функции в этом направлении, а знак показывает либо возрастание, либо убывание.
Градиентом функции
называется
следующий вектор:
Направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции.
Производная функции по направлению градиента есть модуль (длина)градиента.
Градиент функции направлен по нормали к линии уровня.
Множество Х называется выпуклым,
если вместе с любыми двумя точками
содержит также их выпуклую линейную
комбинацию:
Функция
,
определенная на выпуклом множестве Х,
называется выпуклой, если для любых
точек
из множества Х и
выполняется следующее неравенство:
Функция , определенная на выпуклом множестве Х, называется вогнутой, если для любых точек из множества Х и выполняется следующее неравенство:
Выпуклая функция не может принимать больших значений, чем прямая, соединяющая любые две точки (если есть касательная, то она лежит выше касательной).
Вогнутая функция не может принимать меньших значений, чем прямая, соединяющая любые две точки (если есть касательная, то она лежит ниже касательной).
Свойства:
Если функция дифференцируема во внутренних точках множества Х, то для любых внутренних точек справедливо
Выпуклая функция, определенная на выпуклом множестве, достигает своего глобального минимума в точке, в которой градиент обращается в ноль.
Проверка выпуклости
Выпуклость определяется по критерию Сильвестра: функция будет выпуклой тогда и только тогда, когда
Общая схема методов спуска заключается в следующем:
Выбирается некоторая начальная точка
и задается некоторый вектор
,
и каждая последующая точка определяется
формулой
где
-
некоторое число, выбираемое из условия
сходимости метода.
Все методы отличаются друг от друга тем, что разные способы выбора вектора и числа .
Метод наискорейшего спуска
является одним из градиентных методов
выпуклого программирования, в котором
в качестве направления вектора
берется либо градиент функции (для
нахождения максимума вогнутой функции)
,
либо антиградиент (для нахождения
минимум выпуклой функции)
.
Суть метода наискорейшего спуска
заключается в способе выбора числа
.
В этом методе
выбирается так, чтобы разность между
значениями функции в двух соседних
точках
была наименьшей для нахождения минимума
или наибольшей при нахождении максимума.
Учитывая это требования
должно находиться из условия:
С геометрической точки зрения, градиент
в очередной точке
ортогонален градиенту в предыдущей
точке
.
Когда остановится?
Останавливаемся, когда либо
,
либо
,
где
- наперед заданные малые положительные
числа.
Но если функция имеет достаточно простой
вид, то необходимым и достаточным
условием оптимальности решения является
равенство нулю градиента в т.
(это действительно и для сложной функции,
однако уравнение, где градиент =0 не
решаемое).
Метод покоординатного спуска
Пусть имеется выпуклая функция и задача на минимум.
Суть метода
Берем любую начальную точку и двигаемся от нее с некоторым шагом вдоль первой координатной оси. Вычисляем значение функции в новой точке. Если оно меньше, чем в начальной, то переходим к этой точке. Иначе двигаемся в противоположную сторону. Вычисляем значение функции в этой точке, если меньше, то ее берем за новую, если нет, то от исходной точки двигаемся вдоль другой оси, до тех пор, пока не попадем в новую точку. Если попали в новую точку, то процедуру повторяем. Если не попали в новую точку, то изменяем шаг. Как правило, его уменьшаем.
Опишем вышесказанное с помощью формул.
Обозначим
- координатный (единичный) вектор, у
которого на
-ом
месте стоит 1.
Пусть точка
есть начальная точка.
- некоторое положительное число,
называемое параметром метода.
Предположим
.
(1)
Полагаем
.
(2)
Условие (2) обеспечивает циклический
перебор векторов
,
т.е.
.
Вычисляем значение функции
в
точке
и проверяем неравенство
.
(3)
Если (3) выполняется, то полагаем
(4)
Если (3) не выполняется, то вычисляем
значение функции
в точке
и проверяем
.
(5)
В случае выполнения (5) полагаем
(6)
Назовем
-ую
итерацию удачной, если справедливо либо
(3), либо (5). Если
-ая
итерация будет неудачной, то необходимо
некоторым образом изменить шаг, т.е.
параметр метода, а именно полагаем:
(7)
Здесь
- фиксированное число, являющееся
параметром метода.
Условие (7) означает, что если за один
цикл из n итераций при
переборе всех координатных осей с шагом
имеется хотя бы одна удачная итерация,
то длина шага
не дробится и сохраняется, по крайней
мере, в следующем цикле из n
итераций. Если же среди последних n
итераций не оказалось ни одной удачной,
то шаг дробится.
Теорема (о сходимости метода координатного спуска).
Пусть функция
выпуклая и имеет непрерывную производную,
тогда последовательность точек
,
полученные по формулам (2) – (7), сходится
к точке минимума.
Замечание. Формулы (2)-(7) не требовали гладкости функции . Однако в теореме это условие есть. Можно показать, что если функция не гладкая, то метод может не сходиться к точке минимума.