3.1.2.2. Трехслойные пластины с легким заполнителем

Структура трехслойной пластины с многослойными обшивками и легким (сотовым) заполнителем показана на рис. 2.5. Кинематические гипотезы, используемые при расчетах трехслойных конструкций, перечислены в п. 3.1.1.2 и проиллюстрированы рис. 3.6.

Расчет с использованием гипотез Кирхгофа для всего трехслойного пакета не отличается от приведенного в предыдущем пункте, если использовать условие (2.6); такие расчеты могут использоваться для грубых оценок.

В большинстве случаев для проектных расчетов может использоваться расчетная схема, учитывающая сдвиг в заполнителе по схеме Тимошенко при мембранном деформировании обшивок. Эта схема обеспечивает приемлемую точность в случаях, когда толщина слоя заполнителя гораздо больше толщины многослойной обшивки; если это условие не выполнено, то следует использовать более точную расчетную схему «ломаной линии».

При изгибе трехслойной пластины в соответствии со схемой мембранного деформирования обшивок считается, что последние находятся в состоянии равномерного по толщине растяжения-сжатия (одна из них растянута, а вторая сжата, что и составляет изгиб всей конструкции), а в слое заполнителя действуют только сдвиговые напряжения в плоскостях, перпендикулярных срединной плоскости пластины. При этом перемещения точек пластины описывается тремя функциями: прогиб w(x,y) определяет поперечные перемещения точек координатной плоскости, _x(x,y) и _y(x,y) представляют собой углы поворота заполнителя в соответствующих плоскостях. Связь между углами поворота заполнителя _x, _y, прогибом w и углами сдвига заполнителя _xz^(з), _yz^(з) имеет вид:

(3.132)

Распределение перемещений в обшивках

(3.133)

где знак плюс относится к нижней обшивке, а минус – к верхней (по направлению оси z); символом c обозначена половина толщины заполнителя, как это показано на рис. 2.5. Перемещения заполнителя

(3.134)

Деформации обшивок и заполнителя описываются соотношениями

(3.135)

и (3.132); прочие деформации обшивок и заполнителя не вносят вклад в накопление потенциальной энергии. Знак плюс по-прежнему относится к нижней обшивке, а минус – к верхней.

Потенциальная энергия деформирования трехслойной пластины может быть представлена в виде суммы трех слагаемых, определяющих энергию нижней и верхней обшивок, а также заполнителя:

U = U₁ + U₂ + U₃. (3.136)

Эти слагаемые записываются в виде

(3.137)

где средние коэффициенты матриц жесткости многослойных обшивок

(3.138)

Величины суть относительные толщины слоев обшивки, H – толщина одной обшивки; коэффициенты матриц жесткости слоев обшивки определяются согласно [2].

Модули сдвига заполнителя G_xz⁽³⁾ и G_yz⁽³⁾ определяются по формулам

(3.139)

где _з – угол между осью 1 заполнителя и осью x конструкции, G₁₃⁽³⁾ и G₂₃⁽³⁾ – модули сдвига заполнителя в его естественной системе координат (ось 1 ориентирована в направлении двойных стенок сот в плоскости сотового слоя).

Потенциальная энергия деформирования трехслойной пластины

(3.140)

Полная потенциальная энергия

, (3.140a)

Неизвестные функции w(x,y), _x(x,y) и _y(x,y) определяются из вариационного уравнения Лагранжа (1.31).

Если используется схема «ломаной линии», то деформированное состояние пластины также описывается тремя функциями w(x,y), _x(x,y) и _y(x,y). Связь между углами поворота заполнителя _x, _y, прогибом w и углами сдвига заполнителя _xz, _yz записывается в виде (3.132). В практических расчетах оказывается удобнее оперировать не величинами _x, _y, а непосредственно связанными с последними функциями s_x и s_y, которые вводятся соотношениями

(3.141)

Распределение перемещений в обшивках

u(z) = –zw,_x  s_x

v(z) = –zw,_y  s_y (3.142)

w(z) = w,

где знак плюс относится к нижней обшивке, а минус – к верхней (по направлению оси z). Перемещения заполнителя по-прежнему определяются выражением (3.134).

Деформации обшивок и заполнителя описываются соотношениями

_x(z) = –zw,_xx  s_x,_x

_y(z) = –zw,_yy  s_y,_y

_xy(z) = –2zw,_xy  s_x,_y  s_y,_x (3.143)

;

прочие деформации обшивок и заполнителя не вносят вклад в потенциальную энергию.

Потенциальная энергия деформированной трехслойной пластины может быть представлена в виде суммы трех слагаемых (3.136). Первые два слагаемые записываются в виде

(3.144)

для U₃ остается справедливым второе из выражений (3.137). В (3.144) при расчете U₁ принимаются выражения для _x(z), _y(z), _xy(z) (3.143), соответствующие нижней обшивке (со знаком плюс), а при расчете U₂ – верхней (со знаком минус). Суммирование ведется по всем слоям многослойно обшивки; величины z_i-1 и z_i представляют собой координаты нижней и верхней границ i-го слоя, отсчитываемые от срединной поверхности заполнителя.

После интегрирования (3.144) и второго уравнения (3.137) по координате z потенциальная энергия деформирования трехслойной пластины может быть записана в виде

(3.144a)

где изгибные жесткости одной (верхней) обшивки относительно срединной поверхности заполнителя D_xx, D_xy, D_yy, D_ss рассчитываются по формулам (2.5), смешанные жесткости C_xx, C_xy, C_yy, C_ss – согласно зависимостям (2.7), мембранные жесткости B_xx, B_xy, B_yy, B_ss – по формулам (2.6).

Для полной потенциальной энергии справедливо выражение (3.140а); функции w(x,y), s_x(x,y) и s_y(x,y) определяются из вариационного уравнения Лагранжа (1.31).