3.1.2. Расчетные зависимости для композитных пластин

3.1.2.1. Многослойные пластины симметричной структуры

Расчетная схема задачи показана на рис. 2.4,а. Система координат xyz связана со срединной плоскостью многослойной пластины, нагруженной поперечной распределенной нагрузкой p(x, y). Будем рассматривать только пластины, структура которых симметрична относительно срединной плоскости, которая и принимается в качестве координатной поверхности. Ограничимся также малыми перемещениями в сравнении с толщиной пластины. При таких допущениях можно считать, что точки координатной плоскости xy получают только поперечные перемещения w(x,y) и пренебречь деформациями элементов, лежащих в срединной плоскости [6]; в противном случае придется вводить полные перемещения точек координатной поверхности, как это сделано ниже для панелей и оболочек. Кроме того, будем считать материал каждого слоя ортотропным в осях xy (для неортотропных пластин нормальные напряжения будут вызывать деформации сдвига, что, как правило, ухудшает свойства проектируемой конструкции).

Для тонких пластин можно считать справедливыми гипотезы Кирхгофа [6]:

• гипотеза прямой нормали утверждает, что все материальные элементы пластины, до деформирования перпендикулярные ее срединной плоскости, после деформирования остаются прямолинейными и перпендикулярными искривленной срединной поверхности, а длина их не меняется;

• согласно гипотезе ненадавливания слоев, нормальные напряжения в площадках, параллельных срединной поверхности, пренебрежимо малы в сравнении с нормальными напряжениями в площадках, перпендикулярных срединной поверхности.

Таким образом, принятие первой гипотезы означает, что _xz = 0, _yz = 0 и _z = 0, а вторая гипотеза добавляет к этому условие _z = 0.

Гипотезы Кирхгофа для пластин аналогичны гипотезам Бернулли для стержней; смысл и область применения последних рассмотрены выше. При необходимости вместо них можно использовать более общие гипотезы, основанные на подходе Тимошенко, аналогично тому, как это сделано в следующем пункте для трехслойных пластин.

Вывод кинематических соотношений для данной задачи иллюстрирует рис. 3.12. На нем показано деформирование элементов пластины в плоскости xz; деформирование в плоскости yz полностью аналогично.

Перемещения точек, не принадлежащих срединной поверхности, определяются выражениями

(3.114)

Соответствующие деформации

(3.115)

В силу гипотезы прямой нормали углы поворота нормали в плоскостях xz и yz _x и _y равны углам поворота касательной в соответствующих плоскостях:

(3.116)

откуда окончательно получаем

(3.117)

Физические соотношения в данной задаче представляют собой закон Гука для плоского напряженного состояния в виде (1.14). Для ортотропных слоев

(3.118)

где g_xx, g_xy, g_yy, g_ss – коэффициенты матрицы жесткости текущего слоя, вычисленные в глобальной системе координат.

В соответствии с (3.117), (3.118) напряжения кусочно-линейно изменяются по толщине пластины и статически эквивалентны распределенным изгибающим моментам M_x, M_y и крутящим моментам M_xy, M_yx;

(3.119)

где H – толщина пластины. В последних выражениях символами D_xx, D_xy, D_yy, D_ss обозначены изгибные жесткости многослойной пластины, которые вычисляются по формулам (2.5).

Для однородной изотропной пластины все четыре изгибные жесткости выражаются через цилиндрическую жесткость [6]

(3.120)

следующим образом:

. (3.121)

Гипотезы Кирхгофа позволяют использовать для удельной потенциальной энергии деформируемой пластины выражения (1.12) или (1.22), справедливые для плоской задачи. Отсюда с учетом (3.117) следует

. (3.122)

После интегрирования по толщине энергия деформирования многослойной пластины может быть записана в виде

. (3.124)

где S – площадь координатной поверхности.

Потенциал внешних сил записывается согласно (1.30), так что полная потенциальная энергия

, (3.125)

Поле перемещений w(x,y) определяется вариационным уравнением Лагранжа (1.31).

Для пластины постоянной толщины можно записать уравнение Эйлера для функционала (3.125):

, (3.126)

в том числе для однородной изотропной пластины

. (3.127)

Граничные условия могут быть получены из рассмотрения равенства нулю первой вариации функционала после интегрирования по частям. Приведем такой вывод для прямоугольной пластины с размерами в плане ab.

Первая вариация функционала полной потенциальной энергии

_(3.128)

Равенство нулю последнего интеграла приводит к выражению (3.126), а первые слагаемые обеспечивают естественные граничные условия – по два на каждой стороне пластины и отдельно в каждом из четырех углов.

Для лучшего понимания смысла этих условий полезно вспомнить уравнения равновесия элемента пластины [6]

(3.129)

где Q_x, Q_y – погонные перерезывающие силы в соответствующих плоскостях.

Рассмотрим, для примера, сторону x = 0. Из равенства нулю второго интеграла (3.128) следуют условия:

1. Либо  = 0, либо w,_x = 0 (последнее условие в соответствии с (3.116) означает, что задана величина угла поворота сечения _x; например, _x = 0).

2. Либо  = 0, либо w = 0 (последнее условие означает, что задана величина w; например, w = 0).

С учетом (3.119) и (3.129) эти граничные условия могут быть сформулированы для внутренних силовых факторов:

1. Либо M_x = 0, либо задана величина _x.

2. Либо Q_x + M_xy,_y = 0, либо задана величина w.

Типичными комбинациями граничных условий являются:

• заделка, для которой w = 0 и _x = 0;

• шарнир, для которого w = 0 и M_x = 0 (поскольку w(y) = const, то w,_xy = 0, и из второго условия следует, что w,_xx = 0);

• свободный край, для которого M_x = 0 и Q_x + M_xy,_y = 0 (последнее условие носит название условия Кирхгофа).

Равенство нулю внеинтегрального слагаемого означает, что в каждом из четырех углов пластины либо должен быть задан прогиб, либо отсутствует момент M_xy.

Если на границах пластины приложены нагрузки, они войдут в граничные условия. Соответствующие зависимости нетрудно вывести самостоятельно.

Решение уравнения (3.126) проводится различными способами в зависимости от характера нагрузок и условий закрепления. В самом общем случае численное решение может быть получено методом конечных элементов; при простых условиях закрепления иногда удается получить решение в одинарных или двойных рядах [6]. Для примера можно привести прямоугольную пластину, шарнирно опертую по всему контуру и нагруженную в центре сосредоточенной силой P. В этом случае нетрудно получить решение в виде ряда

, (3.130)

где

(3.131)

Этот ряд сходится достаточно быстро и вполне применим для расчета прогибов пластины. Однако провести таким образом оценку ее несущей способности не удастся, поскольку ряды для внутренних силовых факторов, получаемые в соответствии с (3.119) двукратным дифференцированием ряда (3.130), сходятся плохо.