Принцип минимума полной потенциальной энергии и метод Рэлея-Ритца

Принцип минимума полной потенциальной энергии представляет собой мощное средство решения задач статики, устойчивости и динамики механических систем. Однако применение его ограничено условием консервативности системы: исследование неконсервативных систем следует проводить другими методами.

Механическая система называется консервативной, если в ней не происходит необратимых потерь энергии, а лишь переход ее из одних форм в другие. Консервативная система должна отвечать трем признакам [5, 7]:

• нагружаемое тело должно быть абсолютно упругим;

• наложенные на тело связи должны быть идеальными (т.е., отсутствуют потери энергии в связях, например, на трение);

• нагрузки должны быть консервативными.

Напомним, что консервативной называется сила, обладающая потенциалом, так что работа такой силы не зависит от формы пути, которым система переводится из одного положения в другое, а определяется только начальной и конечной конфигурацией системы. Ввиду важности этого понятия остановимся на нем подробнее.

При расчетах реальных конструкций не всегда бывает просто определить, является ли действующая на конструкцию нагрузка консервативной или нет. Так, на рис. 1.2,а показана хрестоматийная иллюстрация к задаче устойчивости стержня. Сила, действующая на конец стержня, может возникать различным образом. На рис. 1.2,б и в приведены два варианта конструкций, расчетная схема которых может быть проиллюстрирована рисунком 1.2,а. Первый их них – вышка водонапорной башни, второй – стенд для испытаний ракетных двигателей. Поведение нагрузки при отклонении стержня от исходного прямолинейного положения равновесия различается для этих вариантов. В первом случае, как это показано на рисунке 1.2,г, сила сохраняет свое направление и величину, во втором – сохранив величину, изменяет направление, оставаясь направленной по нормали к торцу стержня (рис. 1.2,д). Нетрудно видеть, что в первом случае работа силы не зависит от формы пути и равна произведению сосредоточенной на торце массы на ее вертикальное перемещение и на ускорение силы тяжести, тогда как во втором случае, выбирая различные сочетания поворота торца с его перемещением, можно получить различные значения работы. В частности, если перемещать торец таким образом, что его плоскость всегда перпендикулярна изогнутой оси, работа приложенной на торце силы будет вообще равна нулю.

Таким образом, первая из представленных схем соответствует консервативной задаче, тогда как вторая – нет. К счастью, подавляющее большинство задач механики твердого тела относится к консервативным системам.

Полная потенциальная энергия консервативной системы Э может быть записана в виде суммы двух слагаемых [7]: потенциальной энергии деформации тела U и потенциала внешних сил V (последний определяется с точностью до произвольной константы, которая может быть принята равной нулю для исходного недеформированного состояния тела):

Э = U + V, (1.28)

где

, (1.29)

, (1.30)

где  – объем тела, S – часть поверхности, на которой заданы силовые граничные условия.

Знак минус в выражении (1.30) соответствует случаю, когда силы X, Y, Z, p_x, p_y, p_z направлены так же, как перемещения u, v, w (то есть, с ростом перемещений потенциал уменьшается).

С учетом (1.22) и (1.7) выражение (1.28) можно записать в виде функционала от трех функций u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z). Основные сведения о функционалах можно почерпнуть в курсах вариационного исчисления (например, [13]). Для нашего курса достаточно общих представлений о свойствах функционалов, умения проводить варьирование и записывать уравнения Эйлера, а также понимания смысла условий стационарности и достаточных условий минимума.

Основной вариационный принцип – принцип минимума полной потенциальной энергии – формулируется следующим образом: в положении равновесия полная потенциальная энергия консервативной системы имеет стационарное значение, причем положение равновесия устойчиво, если это стационарное значение – минимум.

Как известно, стационарность функционала означает равенство нулю его первой вариации:

. (1.31)

Выражение (1.31) называется вариационным уравнением Лагранжа [5]. Оно справедливо для любых упругих систем, в том числе обладающих геометрической и физической нелинейностью. Для линейно упругого тела с случае принятия условий (1.7) система уравнений Эйлера для функционала (1.28) представляет собой линейную систему дифференциальных уравнений, которая всегда имеет единственное решение, соответствующее единственной равновесной конфигурации тела.

Таким образом, решение задач статики на основе принципа минимума сводится к простой и понятной процедуре. Вводится поле перемещений, определяемое неизвестными функциями u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z). Поле деформаций и поле напряжений рассчитываются по зависимостям (1.7) и (1.13), после чего согласно (1.29) и (1.30) определяется полная потенциальная энергия. Далее используется условие (1.31): истинные значения функций u, v, w, определяющие равновесную конфигурацию тела под нагрузкой, должны удовлетворять этому условию. После нахождения перемещений нетрудно определить деформации и напряжения, а затем, если это необходимо, – вынести суждение о прочности тела.

Вторая часть принципа минимума может быть использована для решения задач устойчивости. При этом необходимо применять полные нелинейные выражения для деформаций (1.6) – это дает возможность исследовать возможность появления иных форм равновесия системы при действующих нагрузках. Достаточное условие минимума – положительное значение второй вариации функционала (1.28) – используется для анализа устойчивости или неустойчивости полученных равновесных конфигураций.

Наконец, для решения задач динамики принцип минимума используется совместно с принципом д’Аламбера, который позволяет свести исследование движения системы к анализу ее равновесия. Анализ устойчивости и динамических характеристик с помощью принципа минимума подробно рассматриваются в соответствующих разделах курса.

Во всех случаях, при использовании принципа минимума необходимо решать вариационное уравнение (1.31). Это может быть сделано несколькими путями.

Первый из них – составление дифференциальных уравнений путем формулировки уравнений Эйлера для исследуемого функционала или непосредственного варьирования с последующим интегрированием по частям (последнее предпочтительнее в сложных случаях с неочевидными граничными условиями, поскольку естественные граничные условия формулируются в процессе вывода). Этот путь целесообразно использовать в тех случаях, когда есть надежда на аналитическое или несложное численное решение полученных дифференциальных уравнений.

В других случаях удобнее использовать так называемые прямые методы вариационного исчисления – приближенные методы исследования вариационных задач, в которых решение ищется на основе непосредственного анализа функционалов. Наиболее распространенным представителем таких методов является метод Рэлея-Ритца [5]. Согласно этому методу неизвестные функции представляются в виде ряда по известным базисным или аппроксимирующим функциям

(1.32)

где A_i, B_j, C_k – неизвестные константы.

К аппроксимирующим функциям предъявляются следующие требования:

• непрерывность в исследуемой области;

• линейная независимость (по отношению к другим функциям того же семейства);

• полнота (при n  , m  , l   соответствующие ряды должны сходиться к точным значениям функций);

• удовлетворение геометрическим граничным условиям задачи.

Поскольку удовлетворения силовым граничным условиям от каждой из аппроксимирующих функций не требуется, подбор таких функций оказывается существенно проще, чем поиск точного решения.

После подстановки выражений (1.32) в соотношения (1.7) и использования (1.13) функционал (1.28) превращается в функцию переменных A_i, B_j и C_k, а условие стационарности (1.31) – в условия экстремума этой функции

(1.33)

Поскольку перемещения и их производные входят в функционал в степени не выше второй, выражения (1.33) представляют собой систему линейных уравнений, в которой число неизвестных равно числу уравнений. После нахождения единственного решения этой системы приближенно определяются поля перемещений, деформаций и напряжений.

Простейший пример использования принципа минимума [5] дает задача об одноосном деформировании, представленная на рис. 1.3. Стержень переменной площади S(x) подвергается действию погонной растягивающей нагрузки q(x) и сосредоточенной силы P. Единственному перемещению u(x) соответствует деформация _x = u,_x. Удельная потенциальная энергия

(1.34)

(E_x – модуль упругости в направлении оси стержня), потенциал внешних сил

. (1.35)

Полная потенциальная энергия

, (1.36)

где EF(x) – продольная жесткость стержня, равная произведению среднего модуля упругости E_x на площадь поперечного сечения.

Вариационное уравнение (1.31) приобретает вид

(1.37)

(для того, чтобы избавиться от вариации производной, при преобразовании выражения (1.37) использовано интегрирование по частям).

Поскольку выражение (1.37) должно быть равно нулю при любых вариациях u, можно записать дифференциальное уравнение

(1.38)

и естественные граничные условия к нему

• при х = 0 – EFu,_x = 0 или u = 0 (то есть, u = const, в частности, u = 0);

• при x = L – EFu,_x – P = 0 или u = 0 (то есть, u = const).

В данном случае в соответствии с рисунком 1.3 следует принять

(1.39)

Дальнейшее решение для конкретных зависимостей EF(x) и q(x) не составляет труда.

Разумеется, решение такой несложной задачи можно было получить и более простыми методами. Однако, для нас сейчас важнее тренировка в применении принципа минимума, поскольку, повторим, он способен аналогичным путем привести нас к решению любой, сколь угодно сложной задачи, сформулированной для консервативных систем.