3.1.3.2. Трехслойные панели и оболочки с легким заполнителем

Для трехслойных оболочек и панелей, симметричных относительно срединной поверхности заполнителя (см. рис. 2.5), последняя является координатной поверхностью; ось x направлена по образующей цилиндра. ось y – в кольцевом направлении.

Как и для прочих трехслойных конструкций, существуют три основных подхода к расчету трехслойных панелей и оболочек. Если использовать гипотезы Кирхгофа-Лява для всего трехслойного пакета, то можно воспользоваться расчетными зависимостями, приведенными в предыдущем пункте; такие расчеты годятся для грубо приближенных оценок или для вычисления вспомогательных величин, о которых речь пойдет ниже.

Другие варианты связаны с учетом сдвига в заполнителе по схеме Тимошенко. При этом можно учитывать собственный изгиб обшивок (схема «ломаной линии») или считать одну из них равномерно по толщине растянутой, а другую – равномерно сжатой (схема с обшивками-мембранами).

В обоих случаях для полного описания деформированного состояния оболочки необходимо задать пять независимых функций: u(x,y), v(x,y), w(x,y) определяют перемещения точек координатной поверхности в направлении осей x, y и поперечный прогиб; _x(x,y) и _y(x,y) представляют собой углы поворота заполнителя в соответствующих плоскостях. Связь между углами поворота заполнителя _x, _y, прогибом w и углами сдвига заполнителя _xz^(з), _yz^(з) имеет вид (3.132).

Распределение перемещений в заполнителе

(3.152)

Распределение перемещений в обшивках описывается выражениями

(3.153)

– для обшивок-мембран и

u(z) = u – zw,_x  s_x

v(z) = v –zw,_y  s_y (3.154)

w(z) = w

– для схемы «ломаной линии». Знак плюс относится к внутренней обшивке, а минус – к внешней. Величины s_x и s_y вводятся соотношениями (3.141); при использовании схемы «ломаной линии» эти функции удобно использовать вместо _x и _y.

Деформации в обшивках вычисляются с учетом их кривизны: для случая обшивок-мембран

(3.155)

в случае использования гипотез «ломаной линии»

_x(z) = u,_x – zw,_xx  s_x,_x

_y(z) = v,_y – zw,_yy  s_y,_y + w/R (3.156)

_xy(z) = u,_y + v,_x – 2zw,_xy  s_x,_y  s_y,_x

Деформации сдвига в заполнителе определяются по формулам (3.132) для схемы с обшивками-мембранами и с помощью последних двух формул (3.143) для схемы «ломаной линии»; прочие деформации заполнителя не вносят вклад в накоплении энергии деформирования.

При расчете деформированного состояния конструкции используется теория пологих оболочек [5], следовательно, выражения для изменений кривизн и крутки принимаются в виде (3.148).

Удельная (на единицу площади координатной поверхности) потенциальная энергия трехслойной панели или оболочки может быть представлена в виде (3.136), при этом для вычисления энергии деформирования заполнителя используется вторая формула (3.137), а для расчета энергии деформирования обшивок – либо первая из формул (3.137) в учетом (3.155), либо выражение (3.144), в которое подставляются деформации согласно (3.156).

Дальнейший расчет проводится для конкретных нагрузок и условий закрепления. Полученные зависимости используются также при расчетах устойчивости и динамических характеристик трехслойных панелей и оболочек.