3.1.3. Задачи статики для панелей и оболочек

3.1.3.1. Монолитные многослойные панели и оболочки

Основная особенность деформирования оболочек и панелей с закрепленными краями – отсутствие поверхности, свободной от мембранных деформаций. Таким образом, даже при малых перемещениях оболочек невозможно ограничиться исследованием только поперечных прогибов w, а необходимо вводить в рассмотрение полные перемещения для всех точек рассчитываемой конструкции. Таким образом, для многослойных оболочек устанавливается некая координатная поверхность, от которой ведется отсчет координаты z. Выбор этой поверхности фактически произволен. Конечно, на самом деле произвол этот кажущийся, ибо расположение координатной поверхности должно определяться местом задания граничных условий на контуре панели или оболочки. Однако для реальных конструкций с подкрепленными краями эти соображения весьма условны. На практике обычно координатная поверхность выбирается, исходя из следующих соображений:

• если многослойная структура симметрична относительно своей срединной поверхности, то выбор этой поверхности в качестве координатной позволяет несколько упростить вычисления;

• для несимметричных структур срединная поверхность не обладает никакими особенными свойствами, и в качестве координатной целесообразно выбирать внутреннюю поверхность, от которой ведется отсчет слоев.

Разумеется, для тонкостенных панелей и оболочек результаты расчета не должны зависеть от выбора координатной поверхности.

Перечисленные случаи показаны на рис. 2.4. Для практических расчетов удобно использовать систему координат, в которой ось z направлена по внешней нормали к координатной поверхности, а оси x и y расположены в касательной плоскости; для оболочек вращения направление x выбирается по меридиану, а y – по окружности.

Другое отличие панелей и оболочек от пластин связано с наличием кривизны координатной поверхности в недеформированном состоянии. В курсах строительной механики подробно рассматривается вывод кинематических соотношений для оболочек двойной кривизны [57, 21]. Мы ограничимся приведением соответствующих формул для цилиндрической панели или оболочки, деформирование которой подчиняется гипотезам Кирхгофа (для оболочек эти гипотезы обыкновенно называют гипотезами Кирхгофа-Лява [5]). Для и оболочек большой толщины возможно уточнение решения с использованием подхода Тимошенко [9].

Итак, если перемещения координатной поверхности цилиндрической панели или оболочки c радиусом R задаются функциями u(x,y), v(x,y) и w(x,y), то деформации этой поверхности

(3.145)

(ось x направлена по образующей цилиндра; зависимость для _y выведена при рассмотрении деформирования колец).

Углы поворота нормали в соответствии с гипотезами Кирхгофа-Лява

(3.146)

Изменения кривизн и крутка координатной поверхности [3]

(3.147)

В различных изданиях встречаются разные варианты формул (3.147), отличающиеся видом последних членов во второй и третьей зависимости. Во многих случаях для проектных расчетов может использоваться теория пологих оболочек [5, 7], в которой этими членами пренебрегают, принимая

(3.148)

(при этом также отбрасывают последний член в формуле (3.136)).

Распределение деформаций по толщине с учетом (3.145)

(3.149)

Физические соотношения (закон Гука в виде (1.14) или (3.118)) также интегрируют по толщине, записывая связь между деформациями (3.145) и изменениями кривизн (3.147) или (3.148) координатной поверхности и внутренними силовыми факторами, приведенными к этой поверхности – погонными силами T_x, T_y, T_xy и распределенными моментами M_x, M_y, M_xy – в виде

. (3.150)

Входящие в матрицу жесткости мембранные жесткости B_xx, B_xy, B_yy, B_ss, смешанные (мембранно-изгибные) C_xx, C_xy, C_yy, C_ss и изгибные жесткости D_xx, D_xy, D_yy, D_ss определяются по зависимостям (2.5)(2.7), в которых отсчет координаты z ведется от координатной поверхности.

Выражение (3.150) справедливо для ортотропных в осях конструкции панелей и оболочек; для структур общего вида матрица жесткости полностью заполнена.

В соответствии с изложенным энергия деформирования панели или оболочки записывается в виде

, (3.151)

где S – площадь координатной поверхности панели или оболочки. Все величины, входящие в правую часть выражения (3.151), с помощью формул (3.145), (3.147)-(3.148) и (3.150) выражаются через перемещения координатной поверхности u, v, w и их производные.

В остальном расчет аналогичен расчету однородных изотропных панелей и оболочек [5, 6].