3.Определитель матрицы 3-его порядка

– Правило Треугольника.

4. Определители высших порядков.

3. Системы линейных уравнений.

Правило Крамера Системой m линейных уравнений

с n неизвестными называется система вида:

a11x1 + a12x2 + ……..+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ……..+ a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + ……..+ amnxn = b3

Матрица коэффициентов при неизвестных

называется основной матрицей системы:

a11 a12 a2n

A = a21 a22 a2n

am1 am2 amn

b1 x1

B = b2 - столбец свободных членов X = x2 – столбец неизвестных

bm xn

Если к основной матрице А добавить столбец свободных членов

В, получим расширенную матрицу А:

a11 a12 a2n b1

A = a21 a22 a2n b2

am1 am2 amn bm

Решением системы линейных уравнение называется

совокупность чисел с1, с2, … сn, которая при подстановке

в каждое уравнение системы вместо неизвестных х1, х2,

… хn обращает эти уравнения в верные числовые равенства.

Совместной называется система, имеющая хотя бы одно решение.

Несовместной называется система, не имеющая решений.

Определенной называется совместная система, имеющая

единственное решение. Неопределенной называется совместная

система, имеющая бесконечное множество решение.

Теорема Крамера: Система n линейных уравнений с

n неизвестными имеет единственное решение тогда и

только тогда, когда определитель основной матрицы

отличен от нуля. Неизвестные системы находятся

по формулам Крамера:

где - главный определитель системы, то есть

определитель основной матрицы А, - определитель

неизвестного х1, который получается при замене столбца

с номером 1 в главном определителе на столбец свободных членов.

4. Обратная матрица. Решение слу матричным способом.

Обратную матрицу можно находить лишь для квадратной матрицы,

определитель которой не равен нулю.

Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее

определитель отличен от нуля. Определение: Матрица А называется

обратной для невырожденной матрицы А, если произведение матриц

А и А равно единичной матрице: А * А = А * А = Е

Нахождение обратной матрицы:

1.Вычисляем определитель матрицы А. Если определитель не равен

нулю, то делаем вывод, что обратная матрица существует.

2.Составляем союзную матрицу А, элементами которой

являются алгебраические дополнения элементов исходной матрицы.

3. Полученную матрицу транспонируем, получаем матрицу А.

4. Все элементы матрицы А делим на величину определителя матрицы А

5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Суть метода состоит в том, что путем элементарных

преобразований из всех уравнений системы, кроме первого,

исключить неизвестное х1, далее из всех уравнений, кроме

первого и второго, исключить неизвестное х2 и т. д.

К элементарным относятся следующие преобразования:

1.умножение (деление) на число, отличное от нуля, элементов

какой-либо строки. 2. сложение элементов какой-либо строки

с соответствующими элементами другой строки,

предварительно умноженными на ненулевое число.

3.перестановка строк матрицы 4. вычеркивание из матрицы

нулевых строк, одной из двух одинаковых строк, одной из

двух пропорциональных строк, вычеркиваются строки,

линейно-зависимые от других строк. В результате

элементарных преобразований получается матрица,

эквивалентная исходной, то есть матрица, имеющая

такой же ранг. На ее основе составляется система,

эквивалентная исходной, но более простая в решение и

анализе, так как в последнем уравнение остается только

одно неизвестное, а в предпоследнем два и т. д. Этот процесс

называется прямым ходом метода Гаусса.