Лекции по мат. анализу / Лекция 16

Лекция 16 . Интегралы, приводящиеся к интегралам о рациональных дробей.

П.1 Интегрирование выражений вида

Сведение к рациональной функции производится заменой : и

.

ПРИМЕР1. Вычислить интеграл .

РЕШЕНИЕ. . Замена ,

, . Тогда

, где .

П.2 Интегрирование дифференциальных биномов.

Дифференциальным биномом называют выражения вида .

1 случай. p – целое число.

Тогда и и замена сводит интеграл к рациональному.

Сделаем замену . Тогда

, где .

2 случай. - целое число.

Если , то замена преобразует дифференциальный бином

к рациональной функции от t .

3 случай. - целое

Перепишем выражение дифференциального бинома в виде . Тогда

замена рационализирует интеграл. В середине девятнадцатого столетия

русский математик Чебышев доказал, что никаких других случаев интегрирования дифференциального бинома не существует. Таким образом, интеграл от дифференциального бинома существует в трех случаях : одно из чисел

или целое.

ПРИМЕР 2. Вычислить интеграл .

РЕШЕНИЕ. . Поскольку - это второй случай интегрируемости. . Тогда .

Сделаем замену и

.

П.3 Интегрирование выражений вида

ПРИМЕР 3 Доказать, что .

РЕШЕНИЕ. Сделаем замену . Тогда

и . Интеграл

ПРИМЕР 4. Доказать, что

РЕШЕНИЕ. Сделаем для замену . Тогда и и интеграл .

В общем случае интегрирование выражения производится с помощью подстановок Эйлера.

1 подстановка ( a>0) . . Тогда ,

и .

2 подстановка ( c>0) . . Тогда ,

и .

Если квадратный трехчлен имеет различные действительные корни :

, то рационализация интеграла произойдет с помощью

3 подстановка. . Тогда ,

и .

ПРИМЕР 5. Вычислить интеграл .

РЕШЕНИЕ. Воспользуемся 3 подстановкой Эйлера : . Тогда

, и . Интеграл

. Согласно рекуррентной формуле, доказанной в лекции 15 для , имеем

и , тогда

. Подставляя вместо и

, получим . Обычно в таблицу

интегралов эта формула попадает в другом виде :

и это связано с тождеством на интервале : .

П.4 Интегрирование выражений вида .

Интеграл приводится к рациональному после замены , поскольку

, и

ПРИМЕР 6. Вычислить интеграл .

РЕШЕНИЕ. Сделаем замену . Тогда .

УПРАЖНЕНИЕ.

Интеграл , где - многочлен степени n , можно искать в виде

,

где многочлен степени n- 1 с неопределенными коэффициентами, - параметр.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Интегрирование выражений вида , пример.

2) Интегрирование дифференциальных биномов.

3) Интегрирование выражений вида . Подстановки Эйлера.