Лекции по мат. анализу / Лекция 25

Лекция 25 . Частные производные и дифференциалы высших порядков.

П.1 . Производные и дифференциалы высших порядков.

Частная производная функции по переменной в произвольной точке

в свою очередь является функцией n переменных и ее дифференцирование может быть продолжено.

ОПР. Частной производной функции порядка k в точке называют результат последовательного дифференцирования :

, где

Следующая теорема устанавливает условия независимости частной производной от порядка дифференцирования.

ТЕОРЕМА 1 . Пусть для функции существуют и непрерывны смешанные производные и в некоторой точке открытого множества .

Тогда = .

ДОК. Если задана функция , то ее приращением по переменной x называют выражение : . Аналогично, приращением по переменной y будет . Тогда

. Применяя теорему о среднем для производных в некоторой окрестности точки , получим

. Из непрерывности смешанной производной в точке следует, что . Аналогично доказывается, что и поскольку числители дробей равны, то = .

Поскольку дифференциал функции в произвольной точке также является функцией n переменных , возможно повторное дифференцирование.

ОПР. Дифференциалом порядка k функции в точке называют выражение : .

ВЫРАЖЕНИЕ второго дифференциала через частные производные.

,

где частные производные вычисляются в некоторой точке .

ДОК. . В предположении непрерывности смешанных производных, = , поэтому .

Для удобства записи дифференциалов высокого порядка используют операторную форму:

.

Например, третий дифференциал функции двух переменных по этой формуле имеет вид:

.

УПРАЖНЕНИЕ. Докажите, что форма второго дифференциала не является инвариантной.

Если функция переменных и , которые в свою очередь являются функциями и переменных x и y , то

.

Независимость формы второго дифференциала наступает только в случае , если и , т.е. если и линейные функции.

П.2 Формула Тейлора.

ТЕОРЕМА 2. Если функция имеет непрерывные частные производные до порядка в окрестности точки , то существует точка , для которой

+.

ДОК. Рассмотрим функцию одной переменной t : , где фиксировано. В условиях теоремы функция имеет () непрерывную производную по переменной и к ней применима формула Тейлора в дифференциальной форме : , где

. Вычислим входящие в нее дифференциалы :

.

Аналогично, и . Наконец, при , получим . Полагаем в формуле , с учетом, что и , получим исходную формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа .

Заметим, что для любого . В предположении непрерывности частных производных до порядка следует их ограниченность и функция , если , т.е. . Тогда формула

+

называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Многочлен

+переменных степени m называется многочленом Тейлора функции в точке .

ПРИМЕР 1. Написать многочлен Тейлора степени 2 функции в точке (1,1).

РЕШЕНИЕ. , , ,

, ,

, ,

. Тогда

.

ТЕОРЕМА 3. (Достаточные условия экстремума)

Пусть функция имеет непрерывные частные производные до порядка 2 в окрестности и 1) , 2) квадратичная форма

с матрицей , знакоопределенная .

Тогда у функции в точке экстремум типа максимум, если ,

и минимум, если .

ДОК. Разложим функцию по формуле Тейлора до членов второго порядков :

, поскольку . Тогда знак приращения определяется знаком для достаточно малых значений .

ЗАМЕЧАНИЕ. Если квадратичная форма знаконеопределена в окрестности стационарной точки, то функция не имеет экстремума в этой точке.

В курсе алгебры устанавливается критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы .

КРИТЕРИЙ СИЛЬВЕСТРА.

Обозначим через главный минор матрицы А порядка i . Квадратичная форма

положительно определена , если все ее главные миноры положительны. Квадратичная форма отрицательно определена , если знаки ее главные миноры чередуются, начиная с , т.е. , …, .

В остальных случаях, при квадратичная форма знаконеопределена.

ПРАВИЛО ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ на экстремум.

1) Найти стационарные точки функции, решая систему алгебраических уравнений.

2) Вычислить все значения вторых частных производных в стационарных точках и составить матрицу второго дифференциала .

3) Применить критерий Сильвестра и определить тип экстремальной точки.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если у функции есть точки, в которых частные производные первого порядка не существуют, то нет и вторых производных, квадратичной формы. Поведение функции в этих точках должно быть исследовано особо. Следует отметить также, что условия теоремы 3 достаточные для экстремума и невыполнение их еще не говорит о том, что у функции в данной точке нет экстремума.

ПРИМЕР 2. Функция имеет (0,0) единственной стационарной точкой , матрицу квадратичной формы , для которой . Квадратичная форма

знакоположительной не является. Однако, по определению функция не имеет экстремума в точке (0;0), поскольку меняет знак в любой окрестности точки (0;0), например, для , для .

ПРИМЕР 3. Функция также имеет (0;0) единственной своей стационарной точкой и ту же матрицу квадратичной формы. Однако, в точке (0;0) имеет минимум.

ПРИМЕР 4. Исследовать функцию на экстремум.

РЕШЕНИЕ. Составим систему для определения стационарных точек функции :

, . Функция имеет единственную стационарную

точку (0;-1). Матрица квадратичной формы имеет вид и знак ее не определен. Функция не имеет экстремумов.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.

2) Дифференциалы высших порядков. Выражение дифференциалов через частные производные. Неинвариантность формы второго дифференциала.

3) Формула Тейлора для функции нескольких переменных с остаточными членами в форме Лагранжа и Пеано.

4) Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия экстремума.

5) Экстремум функции нескольких переменных. Достаточные условия экстремума.

Критерий Сильвестра.