Лекции по мат. анализу / Лекция 17

Лекция 17. Интеграл Римана.

П.1 Понятие интеграла Римана.

ОПР. На отрезке [a;b] расположены точки . Говорят, что они задают

разбиение отрезка [a;b] c параметром , где .

ОПР. Для любого набора точек выражение называется интегральной суммой Римана.

ОПР. Интегралом Римана функции на отрезке называют число равное

.

т.е. и .

Функция , для которой существует интеграл Римана, называется интегрируемой.

Существуют функции не имеющие интеграла, например, на отрезке функция

не имеет интеграла, поскольку существуют и с как угодно малым

значением , для которых =1 и =0.

ТЕОРЕМА 1. ( необходимое условие существования интеграла)

Если существует интеграл Римана , то функция ограничена на отрезке .

ДОК. Из условия существования интеграла следует ограниченность интегральных сумм Римана : для любых разбиений с достаточно малым и любым .

Фиксируем одно из таких разбиений . Пусть функция неограниченна на .

Тогда она неограниченна хотя бы на одном из отрезков разбиения , например, на

и изменяя только можно добиться как угодно больших значений интегральных сумм :

.

ОПР. Разбиение отрезка называется последующим по отношению к , обозначение , если точки разбиения содержатся в множестве точек разбиения .

Следующие два утверждения подготовят к доказательству достаточного условия интегрируемости функции.

ЛЕММА 1. Если - разбиение отрезка , для которого , то для любого последующего разбиения : .

ДОК. Выберем любой отрезок разбиения . В разбиении на этом отрезке могут появиться новые точки и новые . Тогда

и . Тогда

.

ЛЕММА 2 Для двух произвольных разбиений и отрезка , для которых

и , справедлива оценка .

ДОК. Рассмотрим разбиение , в котором участвуют все точки из разбиения и .

Тогда , и . Тогда по лемме 1

.

Интересно следствие из доказанной оценки, получаемое предельным переходом при

: для любого и любого .

Следующая теорема выражает достаточное условие интегрируемости.

ТЕОРЕМА 2. Всякая функция, непрерывная на отрезке , интегрируема на .

ДОК. Используя критерий Коши достаточно доказать, что

.

Действительно, из условия непрерывности функции следует, что существует

, для которого . Тогда с учетом леммы 2

.

П.2 Свойства определенного интеграла.

А. Свойство линейности.

Если функции , интегрируемы на отрезке ,

и для любого .

B. Интегрирование неравенства.

Если функции , интегрируемы на отрезке и , то .

Действительно, и знак неравенства не меняется после предельного перехода.

Если неотрицательная непрерывная функция хотя бы в одной точке отрезка положительна,

то .

C. Оценка определенного интеграла.

Если и , то .

Действительно, и по свойству А .

Аналогично, и по свойству А .

D. Теорема о среднем для определенного интеграла.

Если функция непрерывна на отрезке , то существует , для которого

.

Действительно, по свойству В , но по теореме об области значений

непрерывной функции , т.е. функция принимает все значения на отрезке в том числе и число .

E. Оценка для модуля интеграла.

Если интегрируемы функции и на отрезке , то

.

Действительно, на отрезке справедливо неравенство . Тогда

по свойству А , откуда следует .

F. Аддитивность интеграла по множеству.

Если функция интегрируема на отрезках и , то она интегрируема на их объединении .

Действительно, любое разбиение отрезка порождает разбиения

отрезков и соответственно с добавленной к ним точкой c .

Тогда и , переходя к пределу при , получим

П.3 Интегрирование разрывных функций.

ЛЕММА 3. Если функция то .

ДОК. Любая интегральная сумма , соответствующая разбиению , имеет вид

, где и .

Поэтому .

ЛЕММА 4. Если функция непрерывна на отрезке , а функция

определена на и совпадает с на интервале , то .

ДОК. Функция удовлетворяет условию леммы 1 и .

Тогда по свойству А следует утверждение леммы.

ОПР. Функция называется кусочно – непрерывной на отрезке , если существует разбиение отрезка , для которого функция непрерывна

на каждом интервале и имеет разрывы первого рода в точках .

ТЕОРЕМА 3.

Всякая кусочно-непрерывная функция на отрезке интегрируема.

ДОК. По лемме 2 функция интегрируема на каждом отрезке . Тогда интегрируемость функции на следует из свойства F и конечности числа точек разрыва.

ТЕОРЕМА 4.

Если функция кусочно- непрерывна на отрезке и , то

в конечном числе точек.

ДОК. Если для , то и , поскольку хотя бы одно из этих слагаемых положительно, а другие неотрицательны.

Таким образом, .

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Понятие интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости на отрезке.

2) Достаточное условие интегрируемости на отрезке (включая леммы)

3) Свойства линейности интеграла, интегрирование неравенства .

4) Оценка значения интеграла Римана, теорема о среднем для интеграла.

5) Оценка модуля интеграла, свойство аддитивности интеграла по множеству.

6) Интегрирование разрывных функций.