Лекции по мат. анализу / Лекция 24

Лекция 24. Дифференцируемость функции нескольких переменных.

П 1.Частные производные.

ОПР. Частной производной функции по переменной в точке

называют производную функции

по переменной : .

ПРАВИЛО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.

Для нахождения частной производной по какой – либо переменной необходимо совершать привычные действия дифференцирования по этой переменной, полагая остальные переменные постоянными.

ПРИМЕР 1. Найти частные производные по переменным и функции в произвольной точке .

РЕШЕНИЕ. .

Существование частных производных у функции в какой – то точке еще не гарантирует даже ее непрерывность в этой точке.

ПРИМЕР 2. Функция разрывна в точке , хотя имеет в этой точке частные производные по обоим переменным (равные нулю).

В дальнейшем для краткости записи , если не оговорено противное, рассматриваются функции двух переменных.

ОПР. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде

, где А и В – константы, - бесконечно

малая более высокого порядка , чем .

Функции можно придать вид ,

где бесконечно малые функции в точке (0,0).

Действительно, , где

- бесконечно малая функция,

- ограниченные функции : , .

Тогда и - бесконечно малые функции (0,0).

Определение дифференцируемости перефразируем так : Функция называется дифференцируемой в точке ,если ее приращение можно представить в виде , где А и В – константы, , - бесконечно малые функции (0,0).

УПРАЖНЕНИЕ. Докажите, что дифференцируемая функция в точке непрерывна в этой точке.

ТЕОРЕМА 1. ( Необходимое условие дифференцируемости)

Если функция дифференцируема в точке , то она имеет частные производные в этой точке и А=, В=.

ДОК. При отношение имеет предел при равный А. При отношение имеет предел при равный В.

ТЕОРЕМА 2. (Достаточные условия дифференцируемости)

Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности ,

которые непрерывны в точке , то функция дифференцируема в точке.

ДОК. Представим приращение функции в виде

. По теореме о среднем для производной (Лагранжа ) по каждой переменной и

. Из непрерывности частных производных в точке следует, что при достаточно малых и : и . Объединяя выражения, получим ()()=

+, т.е. функция дифференцируема.

П 2. Частные производные сложных функций.

Если функция дифференцируема в точке , а x и y являются в свою очередь дифференцируемыми функциями переменных u и v : , в точке , причем , , то может быть рассмотрена сложная функция .

ТЕОРЕМА 3. Сложная функция дифференцируема в точке и ее частные производные вычисляются по формулам : , .

( производные вычисляются в соответствующих точках и ).

ДОК. +, где функции и являются бесконечно малыми при и . Тогда, по определению, сложная функция дифференцируема и ее частные производные равны коэффициентам при линейных по и членах представления приращения .

ПРИМЕР 3. Введя новые переменные решить дифференциальное уравнение : .

РЕШЕНИЕ. , .

Тогда и решениями являются , где - произвольная дифференцируемая функция.

П.3 Полный дифференциал функции нескольких переменных.

ОПР. Полным дифференциалом функции называется главная линейная часть приращения функции : .

Если функция дифференцируема в точке , то по теореме 1 константы А и В сохраняют смысл значений частных производных функции в точке . Если переменную x рассматривать как линейную функцию , то . По аналогии, .

Тогда полный дифференциал функции примет форму

.

Эта форма записи дифференциала сохраняется, если x и y являются не независимыми переменными, а функциями переменных u и v . Действительно, по теореме 3

.

Это свойство называется инвариантностью формы полного дифференциала.

Если в формуле для приращения функции пренебречь слагаемыми более высокого порядка малости , чем , то можно получить приближенную формулу для вычисления значения функции : .

ПРИМЕР 4. Вычислить приближенно значение .

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим функцию . Тогда есть значение функции при и . Выбираем и . Частные производные , . Тогда по приближенной формуле :

.

Полный дифференциал используют при вычислении линейной ошибки при измерениях.

Если вычисления производятся по формуле , где x и y величины, полученные в результате измерения с ошибками соответственно, то величина является ошибкой вычисления по неточным данным. Линейным приближением для является

дифференциал , который называется линейной ошибкой.

ПРИМЕР 5. Длина x , ширина y и высота z прямоугольного параллелепипеда оказались равными : , , (в метрах). Ошибка прибора для вычисления длины и ширины составляет м., а высоты м. Какова линейная ошибка вычисления объема параллелепипеда.

РЕШЕНИЕ. . , , Тогда линейная ошибка м³.

Действие дифференциала на арифметические операции над функциями аналогичны действию дифференциалов на функции одной переменной.

1) , 2) , 3)

П 4. Производная неявной функции.

ОПР. Уравнение задает функцию одной переменной на отрезке [a;b] неявно, если точка для всех и .

ФОРМУЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ неявной функции одной переменной.

Если уравнение задает неявную функцию , , и функция дифференцируема в точке , причем , то

.

ДОК. .

ОПР. Уравнение задает функцию в области неявно, если точка для все и .

ФОРМУЛА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ неявной функции.

Если уравнение задает функцию в области неявно , , функция дифференцируема в точке , причем , то , .

ДОК.

.

П. 5. Производная по направлению, градиент функции.

Рассмотрим приращение функции в направлении единичного вектора : .

ОПР. Производной функции в точке в направлении вектора называют число .

ФОРМУЛА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ по направлению.

Если функция дифференцируема в точке , то

.

ДОК. =.

ОПР. Вектор , компоненты которого равны частным производным функции , называется градиентом функции в точке .

Тогда производная по направлению равна скалярному произведению вектора градиента на единичный вектор направления . Из такого представления производной следует, что градиент указывает направление , в котором функция быстрее всего растет и указывает наибольшее значение производной.

Если уравнение задает поверхность в пространстве и дифференцируемая кривая на этой поверхности : для , то

, где - касательный вектор к кривой . Таким образом, вектор градиента функции в точке перпендикулярен касательному вектору к любой кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, вектор градиента является нормальным вектором к касательной плоскости к поверхности в точке .

УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ.

.

УРАВНЕНИЕ НОРМАЛИ К ПОВЕРХНОСТИ.

.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Понятие частной производной функции нескольких переменных, понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое условие дифференцируемости.

2) Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных.

3) Частные производные сложной функции.

4) Полный дифференциал, инвариантность формы полного дифференциала.

Приложение понятия полного дифференциала.

5) Производная неявной функции, производная функции по направлению. Градиент,

уравнение касательной и нормали к поверхности.