Лекции по мат. анализу / Лекция 14

Лекция 14. Неопределенный интеграл

П.1 Понятие неопределенного интеграла.

ОПР. Пусть задана функция . Функция называется первообразной функции на , если .

У функции может существовать много первообразных . Например, функции

и являются первообразными функции .

ТЕОРЕМА 1 (о структуре множества первообразных)

Пусть и две первообразные функции на . Тогда

.

ДОК. Предположим противное : . Тогда на

отрезке для функции справедлива теорема Лагранжа :

. Последнее противоречит условию того, что

и две первообразные функции на , поскольку

на .

ОПР. Неопределенным интегралом функции на называется множество всех

первообразных функции на . Обозначение : .

Операции дифференцирования и интегрирования обратные в том смысле, что

и

Доказательство этих формул находится на уровне определений понятий дифференциала функции и неопределенного интеграла (самостоятельно). Таким образом, значки d и

стоящие рядом друг друга уничтожают.

В качестве простейших свойств интеграла, вытекающий из его определения, следует отметить его линейность : .

П.2 Техника неопределенного интегрирования.

А. Замена переменной.

ТЕОРЕМА 2.( о замене переменной в неопределенном интеграле)

Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке и ,

а функция непрерывна на . Рассмотрим две первообразных и .Тогда справедлива формула .

ДОК. . Тогда

.

Пример. Найти интеграл .

РЕШЕНИЕ. Делаем замену . Тогда и , по доказанному,

=.

Б. Интегрирование по частям.

ТЕОРЕМА 3. ( формула интегрирования по частям)

Для любых двух функций , имеющих непрерывные производные

на , справедлива формула .

ДОК. +.

Формулу интегрирования по частям записывают обычно в дифференциальной форме :

ПРИМЕР. Вычислить интеграл .

РЕШЕНИЕ. .

ПРИМЕР. Вычислить интеграл .

РЕШЕНИЕ. .

П.3 Таблица первообразных элементарных функций.

Следующая таблица является обращением таблицы производных элементарных функций.

Каждый результат проверяется дифференцированием.

1. 9.

2. 10.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

7. 15.

8. 16.

17. 18.

19. 20.

21. .

УПРАЖНЕНИЕ.

1. Докажите формулу линейной замены :

2. Вычислите интеграл , используя представление .

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Понятие неопределенного интеграла. Теорема о структуре множества первообразных.

2) Теорема о замене переменной в неопределенном интеграле. Примеры.

3) Теорема об интегрировании по частям в неопределенном интеграле. Примеры.

4) Таблица неопределенных интегралов.