Лекции по мат. анализу / Вопросы к экзамену сем

Вопросы к экзамену по курсу математического анализа, 2 семестр

1. Выпуклость функции, достаточное условие выпуклости по первой производной,

достаточное условие выпуклости по второй производной.

2. Точка перегиба, необходимое условие перегиба, достаточное условие перегиба.

3. Асимптоты графика функции : вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты.

4. Общая схема исследования функции и построения ее графика. Проиллюстрировать

схему на примере по выбору.

5. Понятие неопределенного интеграла. Теорема о структуре множества первообразных.

6. Теорема о замене переменной в неопределенном интеграле. Примеры.

7. Теорема об интегрировании по частям в неопределенном интеграле. Примеры.

8. Таблица неопределенных интегралов.

9. Теорема о представлении наибольшего общего делителя двух многочленов разложение

рациональной дроби в сумму двух дробей.

10. Теорема о представлении рациональной функции в сумму простейших дробей.

11. Простейшие функции и их интегрирование. Рекуррентная формула для

интегрирования дробей четвертого типа.

12. Интегрирование выражений вида , пример.

13. Интегрирование дифференциальных биномов.

14. Интегрирование выражений вида . Подстановки Эйлера.

15. Понятие интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости на отрезке.

16. Достаточное условие интегрируемости на отрезке (включая леммы)

17. Свойства линейности интеграла, интегрирование неравенства .

18. Оценка значения интеграла Римана, теорема о среднем для интеграла.

19. Оценка модуля интеграла, свойство аддитивности интеграла по множеству.

20. Интегрирование разрывных функций.

21. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о дифференцировании интеграла

по верхнему пределу

22. Формула Ньютона – Лейбница.

23. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле. Пример.

24. Формула замены переменной в определенном интеграле.

25. Теоремы о среднем для определенного интеграла.

26 Доказательство формулы для вычисления площади криволинейной трапеции.

27. Доказательство формулы для вычисления площади фигуры, ограниченной кривой,

заданной параметрически. Вычисление площади фигуры, граница которой задана

уравнением в полярной системе координат.

28. Длина дуги кривой заданной графиком функции, параметрическими уравнениями,

уравнением кривой в полярной системе.

29. Доказательство формулы для вычисления объема тела по известным площадям его

сечений.

30. Объем тела вращения. Примеры.

31. Площадь поверхности тела вращения. Примеры.

32. Понятие несобственного интеграла от неограниченной функции. Свойства

несобственного интеграла.

33. Критерий сходимости несобственного интеграла для неотрицательных функций.

34. Теоремы сравнения для несобственных интегралов.

35. Понятие несобственного интеграла на бесконечном промежутке. Критерий Коши

сходимости интеграла.

36. Теоремы сравнения для несобственных интегралов на неограниченном промежутке.

37. Понятие абсолютной сходимости несобственных интегралов. Теорема о сходимости

абсолютно сходящихся интегралов.

38. Критерий Абеля- Дирихле сходимости несобственных интегралов.

39. Евклидовые линейные пространства, аксиомы скалярного произведения ,

оценка скалярного произведения.

40. Метрические пространства, неравенства треугольника.

41. Предел последовательности в . Необходимое и достаточное условие сходимости.

42. Критерий Коши сходимости последовательности в .

43. Теорема Больцано – Вейерштрасса о существовании сходящейся

подпоследовательности .

44. Предел и непрерывность в точке функции нескольких переменных. Теорема об

ограниченности функции на компакте.

45. Теорема о достижимости верхней и нижней грани значений непрерывной функции на

компакте.

46. Теорема об области значений непрерывной функции на связном компакте.

47. Равномерная непрерывность функции на множестве. Теорема о равномерной

непрерывности непрерывной функции на компакте.

48. Понятие частной производной функции нескольких переменных, понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое условие дифференцируемости.

49. Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных.

50. Частные производные сложной функции.

51. Полный дифференциал, инвариантность формы полного дифференциала.

Приложение понятия полного дифференциала.

52. Производная неявной функции, производная функции по направлению. Градиент,

уравнение касательной и нормали к поверхности.

53. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных

производных.

54. Дифференциалы высших порядков. Выражение дифференциалов через частные

производные. Неинвариантность формы второго дифференциала

55. Формула Тейлора для функции нескольких переменных с остаточными членами в

форме Лагранжа и Пеано.

56. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия экстремума.

57. Экстремум функции нескольких переменных. Достаточные условия экстремума.

Критерий Сильвестра.

58. Понятие условного экстремума. Необходимое условие условного экстремума.

59. Метод множителей Лагранжа для нахождения критических точек условного

экстремума.

60. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в ограниченной замкнутой области.