Лекции по мат. анализу / Лекция 15

Лекция 15 Интегрирование рациональных функций.

П.1 Деление многочленов нацело и с остатком. Наибольший общий делитель двух

многочленов.

ОПР. Многочлен делится нацело на многочлен или является делителем

многочлена , если существует многочлен , для которого .

ОПР. Многочлен делится на многочлен с остатком, если найдутся многочлены, и , для которых , причем степень многочлена меньше степени многочлена . Многочлен называется остатком от деления многочлена на многочлен , а - его неполным частным.

ОПР. Многочлен называется наибольшим общим делителем многочленов и , если 1) - общий делитель и 2) для любого общего делителя многочленов и выполнено условие : нацело делится на .

Если наибольший общий делитель многочленов и , то этим же свойством обладает многочлен при любом , т.е. многочлен

D(x)=НОД(Р₁, Р₂) определен с точностью до множителя.

ОПР. Многочлены и взаимно просты, если .

ТЕОРЕМА 1 ( о наибольшем общем делителе многочленов)

Если - наибольший общий делитель многочленов и , то существуют многочлены и , для которых .

ДОК. Способ доказательства связан с построением методом Эвклида. Предположим, что степень многочлена равна n , а степень многочлена равна m , причем

. Разделим на с остатком, т.е. . Если и делятся нацело на , то также делится на нацело. Разделим с остатком на , т.е. , где степень меньше степени . Продолжая процесс деления с остатком, получим последовательность

многочленов , степени которых уменьшаются с увеличением k . Процесс деления

заканчивается, если . Тогда , поскольку является делителем

, ,…, , и по построению. С другой стороны, любой делитель многочленов и делит ,, …и. Тогда из последнего равенства следует, что . Подставляя выражения для и из предыдущих равенств и приводя подобные слагаемые при и , приходим к

к равенству , для некоторых многочленов и .

СЛЕДСТВИЕ.

Если многочлен - знаменатель рациональной функции , разложен на множители , где многочлены и взаимно просты, то может быть разложена в виде , где

-многочлен, и - правильные дроби.

ДОК. Если многочлены и взаимно просты, то по теореме 1 найдутся многочлены и , для которых . Умножая последнее равенство на и деля на , получим . Разделим многочлены и на

и соответственно с остатком : и . Тогда .

П2. Основные факты алгебры многочленов.

ТЕОРЕМА 2 (основная теорема алгебры)

Всякий многочлен с комплексными коэффициентами

имеет хотя бы один комплексный корень. (без доказательства)

СЛЕДСТВИЕ 1

Если корень многочлена , то , где - многочлен степени на единицу меньшей.

ДОК. Разделим на с остатком : . Тогда .

ТЕОРЕМА 3. ( о разложении многочлена на множители)

Если - многочлен с комплексными коэффициентами,

то имеет место разложение .

Если коэффициенты многочлена действительные, то имеет место разложение

, где

- действительные корни многочлена, коэффициенты -

действительные коэффициенты неразложимых квадратных трехчленов ,

.

ДОК. Первое утверждение вытекает из многократного применения теоремы 2 и

следствия 1 к многочленам и т.д.

Если - корень многочлена с действительными коэффициентами, то -

также корень многочлена : . Произведение =

, где b, c – действительные числа.

Если действительный корень многочлена кратности , а - комплексный корень кратности , то имеет место представление , где

.

ОПР. Рациональная дробь вида называется простейшей дробью первого типа.

ОПР. Рациональная дробь вида называется простейшей дробью второго типа.

ОПР. Рациональная дробь вида называется простейшей дробью третьего типа.

ОПР. Рациональная дробь вида называется простейшей дробью четвертого

типа.

П.3 Разложение рациональных функций в сумму простейших дробей

ТЕОРЕМА 4 (о разложении рациональной функции в сумму простейших дробей)

Всякая правильная рациональная функция представляется в виде суммы простейших дробей типа 1-4.

ДОК. Пусть многочлен (для определенности полагаем, что его коэффициент при старшей степени переменной равен 1) разложен на множители

,

где и взаимно простые многочлены (теорема 3) .

Тогда по следствию из теоремы 1 имеем .

Многочлен ,степени , , разложим по степеням :

. Тогда дробь разложена в сумму простейших дробей первого и второго типов для всех

Многочлен степени разделим на с остатком : . Тогда и дробь представлена в виде суммы простейшей дроби четвертого типа и правильной дроби с многочленом числителя степени на две единицы меньшей. Проделав деление конечное число раз, разложим дробь в сумму простейших дробей третьего и четвертого типов.

Для разложения рациональной функции в сумму простейших дробей используется метод

неопределенных коэффициентов.

ПРИМЕР. Разложить дробь в сумму простейших дробей.

РЕШЕНИЕ. .

Для нахождения коэффициентов d и e достаточно умножить правую и левую части равенства на и подставить : .

Коэффициент a определится, если умножить равенство на и подставить

. Если умножить равенство на и подставить . Последний

коэффициент b получим, подставив в равенство . Тогда

.

П.4 Интегрирование простейших дробей.

Интегрирование простейших дробей первого и второго типов производится с помощью

линейной замены в формулах 3),4) таблицы первообразных.

Для интегрирования дробей третьего типа необходимо выделить в числителе производную знаменателя :

.

Интегрирование дробей четвертого типа происходит с помощью рекуррентной формулы.

Пусть . Тогда интегрируя по частям, =

.

Наконец, . Общий вид дроби четвертого типа сводится к этой формуле выделением производной квадратного трехчлена знаменателя в числителе и выделением полного квадрата.

ПРИМЕР. Вычислить интеграл

РЕШЕНИЕ. Сделаем замену , ,

. Тогда

.

ПРИМЕР. Вычислить интеграл

РЕШЕНИЕ. Подынтегральная функция была уже разложена в сумму простейших дробей,

Поэтому

.

УПРАЖНЕНИЕ.(Формула Остроградского для выделения рациональной части интеграла)

Для интеграла от правильной рациональной дроби можно представить в виде

,

где , многочлен имеет те же корни, но

кратности единица, многочлены пишутся с неопределенными коэффициентами степени меньшей, чем соответствующие многочлены знаменателя .

Поиск неопределенных коэффициентов происходит после дифференцирования правой и левой частей формулы.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Теорема о представлении наибольшего общего делителя двух многочленов разложение рациональной дроби в сумму двух дробей.

2) Теорема о представлении рациональной функции в сумму простейших дробей.

3) Простейшие функции и их интегрирование. Рекуррентная формула для интегрирования

дробей четвертого типа.