Лекции по мат. анализу / Лекция 20

Лекция 20 Приложение интеграла. Объем тел в пространстве,

площадь поверхности вращения.

П.1 ОБЪЕМ ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ по известным площадям сечений.

Предположим, что область в пространстве такова, что ее сечение плоскостью, перпендикулярной оси ОХ и проходящей через точку на этой оси с абсциссой x , имеет площадь для каждого . Таким образом, на отрезке может быть задана функция и наша задача по этой функции уметь вычислять объем . Условием существования и интегрируемости функции может служить, например, требование кусочно – гладкости поверхности, ограничивающей .

ОПР. Прямым цилиндром, основанием которого является замкнутая область на плоскости с границей , называют тело в пространстве , ограниченное цилиндрической поверхностью с направляющей и образующей , перпендикулярной

плоскости и двумя плоскостями и , параллельными . Расстояние между плоскостями и называют высотой цилиндра. Если граница цилиндра задается уравнением с кусочно-гладкими функциями, то область имеет площадь .

ОПР. Объемом прямого цилиндра называют число , где - площадь ,а

- его высота.

Каждому разбиению отрезка и набору соответствует цилиндрическое тело ,являющееся объединением прямых цилиндров с основаниями и высотами .Тело называют вписанным в .

ОПР. Объемом тела в пространстве называют число равное пределу объемов цилиндрических тел, вписанных в , при неограниченном измельчении разбиения т.е.

ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ОБЪЕМА по сечениям.

Если функция площадей сечений интегрируема на отрезке , то

.

ДОК. Объем цилиндрического тела , вписанного в тело , равен

и представляет собой интегральную сумму функции на отрезке . Тогда

.

ФОРМУЛА ОБЪЕМА ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.

Если криволинейная трапеция, ограниченная осью ОХ, прямыми и и кривой графика функции , вращается вокруг оси ОХ, то в пространстве образуется тело, называемое телом вращения. Сечения тела плоскостями , перпендикулярными оси ОХ, являются круги радиуса , поэтому . Тогда .

ПРИМЕР 1. (Объем шара радиуса R )

РЕШЕНИЕ. Криволинейная трапеция ограничена окружностью : на

отрезке ,

П 2. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ.

ПРИМЕР 2. ( площадь боковой поверхности конуса и усеченного конуса)

и ,

где R, r – радиус верхнего и нижнего оснований, L - длина образующей.

РЕШЕНИЕ. Для доказательства первой формулы в окружность основания конуса вписываются многоугольники , а в конус с вершиной S - пирамиды , причем . Боковая поверхность пирамиды равна

, где - периметр вписанного многоугольника, - высоты боковых граней.

ОПР. Площадью боковой поверхности конуса называют число, равное .

При и ,, , поэтому .

Если конус усеченный, то его можно достроить до прямого кругового конуса

с образующей . Тогда

.

Пусть кривая на плоскости задана параметрически , с непрерывно дифференцируемыми функциями . Каждому разбиению отрезка соответствует ломанная , вписанная в дугу кривой, соединяющая отрезками точки , . Каждая трапеция,

ограниченная осью ОХ, прямыми и и отрезком при вращении вокруг оси ОХ описывает усеченный конус. Объединение этих конусов назовем коническим телом, вписанным в тело вращения. Площадь его боковой поверхности равна

сумме площадей боковых поверхностей усеченных конусов : , где , .

ОПР. Площадью поверхности вращения называют число , если оно существует.

ФОРМУЛА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ.

ДОК.

По теореме о среднем Лагранжа существует набор и точек на отрезках , для которых и и набор , для которого .Тогда . Полученная сумма формально не является интегральной для функции , поскольку все наборы различные. Оценим величину .

, где - интегральная сумма для функции на отрезке . Тогда из интегрируемости функции следует, что для каждого существует ,такое, что .

Для второго слагаемого с использованием неравенства треугольника получим оценку :

,

здесь , ,

- колебания функций .

В предположении непрерывности функций на , колебания бесконечно малые функции в точке , поэтому существует такое, что .

Тогда .

СЛЕДСТВИЕ. Если граница криволинейной трапеции задана в виде графика функции

на отрезке , то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле

ПРИМЕР 3. Площадь поверхности сферы радиуса равна .

РЕШЕНИЕ. Сфера в пространстве получается как поверхность вращения окружности

, . .

ПРИМЕР 4. Найти площадь поверхности катеноида - поверхности вращения цепной линии : на отрезке .

РЕШЕНИЕ. ,

.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1. Доказательство формулы для вычисления объема тела по известным площадям его сечений.

2. Объем тела вращения. Примеры.

3. Площадь поверхности тела вращения. Примеры.