Лекции по мат. анализу / Лекция 23

Лекция 23 Евклидовые n – мерные пространства. Понятие функции многих переменных.

П.1 Евклидовые линейные пространства.

Элементом пространства является набор из n действительных чисел .

Два набора и равны, если для всех . Пространство обладает структурой линейного пространства : определены операции и и они удовлетворяют аксиомам 1-8 линейного пространства.

ОПР. Линейное пространство называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного произведения, удовлетворяющая аксиомам 1-4 :

1. (коммутативность)

2. (распределительное свойство)

3.

4. , если и , если .

В пространстве скалярное произведение определяется по формуле .

УПРАЖНЕНИЕ. Проверьте для аксиомы 1-4.

ОПР. Пространство М называется метрическим, если для любых определена функция расстояния , удовлетворяющая аксиомам :

А) , если , для любого .

В) .

С) (неравенство треугольника)

Евклидовое пространство может быть наделено структурой метрического пространства, если положить .Если , то .

Аксиомы А-В следуют из 1,3 и 4. Для доказательства неравенства треугольника используется еще одно свойство скалярного произведение :

ЛЕММА 1. Для любых справедливо неравенство : или

.

ДОК. .

Тогда

и . Наконец,

.

ЛЕММА 2 Справедливо второе неравенство треугольника : .

( разность длин сторон треугольника не больше третьей стороны)

ДОК. Из неравенства треугольника ,

, т.е. .

ОПР. Открытым шаром радиуса r с центром в точке метрического пространства М называют множество .

Если , то .

ОПР. Множество называется открытым , если .

Шар - открытое множество в .

ОПР. Точка внутренняя точка множества , если существует .

Все точки открытого множества являются его внутренними точками.

ОПР. Точка называется точкой прикосновения для множества , если

.

Например, все точки сферы являются точками прикосновения для .

ОПР. Множество называется замкнутым, если все точки прикосновения для D принадлежат D .

ОПР. Точка называется граничной для множества , если в любом шаре существуют точки принадлежащие и не принадлежащие . Совокупность граничных точек образует множество - границу множества .

Множество является замкнутым.

ОПР. Множество называется связным , если для любых его двух точек и

существует непрерывная кривая , соединяющая эти точки и целиком принадлежащая области .

ОПР. Множество называется областью , если оно открыто и связно.

П.2 Предел последовательности в .

ОПР. Элемент называется пределом последовательности элементов из , если , т.е. .

Основные факты для пределов последовательностей в связаны с соответствующими теоремами теории пределов числовых последовательностей.

ТЕОРЕМА 1. Последовательность в сходящаяся тогда и только тогда, если

сходятся числовые последовательности для каждого

ДОК. НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть . Тогда , т.е. последовательности сходящиеся для каждого

ДОСТАТОЧНОСТЬ. Пусть последовательности сходятся для любого Тогда и и .

ТЕОРЕМА 2. (Критерий Коши).

Для сходимости последовательности в необходимо и достаточно, чтобы

ДОК. НЕОБХОДИМОСТЬ. Если последовательность в сходится, то существует

элемент , для которого . Тогда

.

ДОСТАТОЧНОСТЬ. Если , то для

любого , т.е. для каждой числовой последовательности выполняются условия критерия Коши и существует . Тогда элемент является пределом последовательности . Действительно, .

ТЕОРЕМА 3 (Больцано- Вейерштрасса)

Если последовательность в ограничена, то существует у нее сходящаяся подпоследовательность.

ДОК. Из ограниченности последовательности в следует, что каждая числовая последовательность ограничена для каждого . Тогда по теореме Больцано- Вейерштрасса для числовой последовательности при существует сходящаяся подпоследовательность . Удалим из последовательности все члены с номерами . Без ограничения общности, полагаем, что члены последовательности перенумерованы по индексу m и используем для нее прежнее обозначение . Аналогично, для числовой последовательности при выберем сходящуюся подпоследовательность и удалим из все члены с номерами . Тоже проделаем для . Из построения последовательности

следует, что она сходящаяся .

П.3 Предел функции нескольких переменных.

ОПР. Функцией n переменных , определенной на множестве ,называют отображение , ставящее в соответствие каждой точке единственное число u .

ОПР. Число А называется пределом функции в точке ,

, если .

ПРИМЕР 1. Найти предел функции в точке (0;0).

РЕШЕНИЕ. Предел равен нулю, поскольку , если .

ПРИМЕР 2. Доказать, что функция не имеет предела в точке (0,0).

РЕШЕНИЕ. Если , то и предел зависит от k . Если функция имеет предел, то он не должен зависить от способа стремления х и у к нулю.

П.4 Непрерывность функции нескольких переменных.

ОПР. Функция называется непрерывной в точке , если

.

ОПР. Функция непрерывна на множестве D , если она непрерывна в каждой точке .

ОПР. Множество D в называется компактом, если оно ограничено и замкнуто.

ТЕОРЕМА 4. Непрерывная функция на компакте ограничена.

ДОК. Предположим противное : функция неограниченна на D.

Тогда . Множество ограничено, поэтому последовательность ограничена и по теореме Больцано- Вейерштрасса из нее может быть выбрана сходящаяся подпоследовательность : . Поскольку множество замкнуто, и , в следствии непрерывности функции в точке , функция является ограниченной в ее окрестности . Последнее противоречит способу построения последовательности .

ТЕОРЕМА 5. Непрерывная функция на компакте достигает верхней и нижней граней

своих значений.

ДОК. Пусть - компакт и . Если значение М не достигается ни в какой точке x множества , то функция непрерывна в каждой точке и по теореме 4 является ограниченной : . Последнее противоречит определению верхней грани множества значений функции . Доказательство достижимости нижней грани проводится аналогично или с учетом замечания : .

ТЕОРЕМА 6. Если - связный компакт и непрерывна на , то .

ДОК. По теореме 5 существуют точки . Из связности множества следует, что существует непрерывная кривая с концами , целиком лежащая в . Тогда функция одного переменного

непрерывна по и по аналогичной теореме принимает все значения на

отрезке [N;M].

ОПР. Функция равномерно непрерывна на , если .

ТЕОРЕМА 7 . Всякая функция непрерывная на компакте равномерно непрерывна.

ДОК. Предположим противное : . Поскольку ограниченное множество , обе последовательности и ограниченные и из них, по теореме 3, можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Без ограничения общности, можно считать и этими подпоследовательностями. Если замкнуто, то предел и. Тогда

для .

Последнее противоречит условию построения последовательностей и .

УПРАЖНЕНИЕ. Докажите, что функция непрерывна в области

, но не равномерно непрерывна в ней.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1. Евклидовые линейные пространства, аксиомы скалярного произведения , оценка скалярного произведения.

2. Метрические пространства, неравенства треугольника.

3. Предел последовательности в . Необходимое и достаточное условие сходимости.

4. Критерий Коши сходимости последовательности в .

5. Теорема Больцано – Вейерштрасса о существовании сходящейся

подпоследовательности .

6. Предел и непрерывность в точке функции нескольких переменных. Теорема об

ограниченности функции на компакте.

7. Теорема о достижимости верхней и нижней грани значений непрерывной функции на

компакте.

8. Теорема об области значений непрерывной функции на связном компакте.

9. Равномерная непрерывность функции на множестве. Теорема о равномерной

непрерывности непрерывной функции на компакте.