§11. Конструкция определенного интеграла и его свойства
Пусть f(x)
– функция, определенная на отрезке
(рис. 9). Рассмотрим следующую конструкцию.
Рис. 9
1
шаг.
Отрезок
разобьем произвольно на большое число
n
частей – ячеек.
Обозначим
через
длину интервала
и пусть
2
шаг.
В каждой
ячейке выберем произвольно по одной
точке
;
вычислим значение функции
в
этих точках и умножим каждое из них на
длину соответствующего интервала
3 шаг. Составим формально суммы
(11.1)
Эти суммы при различных n называются интегральными.
4 шаг. Будем искать предел
(11.2)
Определение. Если
указанный предел существует и не зависит
ни от способа разбиения отрезка
на части, ни от выбора точек сk,
то он
называется определенным интегралом от
функции f(x)
в пределах от a
до b
и обозначается
.
Таким образом,
.
Справедлива
следующая теорема: если функция f(x)
непрерывна на отрезке
,
то
существует.
Изложенная конструкция возникает при решении многих задач науки и инженерного дела. Определенный интеграл позволяет вычислять площади плоский фигур, объемы и поверхности тел вращения, координаты центров тяжести и моменты инерции материальных дуг. С помощью определенного интеграла находят силу взаимного притяжения некоторых объектов, работу по выкачиванию жидкости из резервуара, давление воды на плотину, кинетическую энергию вращающихся тел и многое, многое другое. Самый простой и в то же время
важный результат
состоит в следующем: если
то определенный интеграл выражает
площадь криволинейной трапеции,
изображенной на рис 9, т.е.
(11.4).
Ниже мы представляем
свойства определенного интеграла,
сопровождая большую часть рисунками,
иллюстрирующими (с учетом (11.4)) содержание
этих свойств. 1.
Рис.
10
2. Линейность.
Для любых непрерывных функций
и
и любых чисел
и
справедливо равенство
3.
Аддитивность.
Если отрезок
разбит на два отрезка
и
,
то
(Площадь всей криволинейной трапеции равна сумме площадей двух ее частей рис. 11).
Рис. 11
4. Позитивность.
Если f(x)
≥ 0
то
5. Монотонность.
Если f(x)
≥ g(x)
то
Рис. 12
(Площадь под кривой f(x) больше площади под кривой g(x), рис 12).
6. Если m ≤ f(x) ≤М, то
.
(Площадь под кривой f(x)) заключается между площадями прямоугольников с тем же основанием и высотами соответственно m и М, рис 13).
Рис. 13
7. Теорема
о среднем значении.
Если f(x)
– непрерывная функция на отрезке
,
то существует точка
,
такая что
(т.е. существует прямоугольник с тем же основанием , площадь которого равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции f(x), рис. 14).
Рис. 14
8.
Следствие. Из рис. 12 видно, что площадь фигуры, ограниченной слева и справа соответственно прямыми х = а, х = b, снизу графиком функции у = g(х), а сверху – графиком функции у = f(x) определяется формулой
или
