10.2. Основные методы интегрирования Метод замены переменной (метод подстановки)
Идея метода состоит в том, чтобы вместо исходной переменной в интеграле ввести новую таким образом, чтобы относительно новой переменной интеграл был проще. Вычисляют этот преобразованный интеграл и затем возвращаются к "старой" переменной.
Приведем образцы решений
1) Найти
интеграл J
=
Решение. Произведем замену переменной по формуле sin x = t. После нахождения дифференциалов от обеих частей этого равенства имеем: cos x dx = dt.
Тогда
2) Найти интеграл
3) Найти интеграл
Решение.
4) Найти интеграл
Решение
5) Найти интеграл
Решение.
6) Найти интеграл
Решение.
Примеры для самостоятельной работы:
1)
12)
2)
13)
3)
14)
4)
15)
5)
16)
6)
17)
7)
18)
8)
19)
9)
20)
10)
21)
11)
22)
Ответы: 1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
Интегрирование по частям.
Суть метода заключается в использовании формулы
∫ udv = uv - ∫ vdu, (10.1)
где u = u(x) и v = v(x) – непрерывно дифференцируемые функции. Для применения этой формулы все подынтегральное выражение следует представить в
виде произведения одной функции u на дифференциал другой функции dv. При переходе от левой части формулы (10.1) к ее правой части мы функцию u дифференцируем и получаем du, а выражение dv интегрируем, чтобы найти функцию v.
Примеры
1) Найти интеграл J = ∫ x ∙ cos x dx.
Решение.
По формуле (10.1) имеем теперь
При интегрировании по частям важно правильно выбрать множители u и dv. Можно воспользоваться следующими рекомендациями: в интегралах типа
принимают xn = u, а в интегралах типа
берут
2) Найти интеграл
Решение.
3) Найти интеграл
Решение.
5) Найти интеграл
Решение.
Повторно применим интегрирование по частям
Примеры для самостоятельной работы.
1)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы: 1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
