§ 10. Неопределенный интеграл
Функция F(x) называется первообразной для f(x), если ее производная совпадает с f(x), т.е.
F'(x) ≡ f(x).
Например,
если f(x) = cos x, то F(x) = sin x,
если
то F
(x)
= ln|
x
|,
если
то F
(x)
= arctg
x
.
Теорема 1. Если f(x) – непрерывная функция, то она обязательно имеет первообразную.
Доказательство. Рассмотрим криволинейную трапецию с переменным основанием – фигуру, ограниченную снизу отрезком [а, х] оси абсцисс, слева и справа – прямыми х = а и х = х, сверху – графиком функции f(x) (рис. 8).
Доказательство.
Рассмотрим
криволинейную трапецию с переменным
основанием – фигуру, ограниченную снизу
отрезком
оси абсцисс, слева и справа – прямыми
и
сверху – графиком функции
(рис. 8).
Площадь этой
фигуры, конечно же, зависит от х;
мы обозначим ее
Докажем, что функция
является первообразной для
.
Дадим аргументу
х приращение
Площадь расширенной трапеции будет
приращение функции
представляет собой площадь узкой
трапеции с основанием
(она заштрихована). Подсчитать ее площадь
приближенно, можно, заметив ее площадью
прямоугольника с тем же основанием и
высотой, равной
где
Заметим, что это приближение
тем точнее, чем меньше
Но ведь мы будем при определении
производной устремлять
Итак,
Самое последнее равенство вытекает из непрерывности функции .
Следствие. Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных.
Доказательство.
Пусть
- одна из первообразных для
.
Тогда любая функция
вида
где С
– произвольная
постоянная, тоже является первообразной.
В самом деле,
Значительно более интересными и важным является следующая теорема.
Множество всех первообразных для данной функции называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается символом ∫ f(x)dx. Таким образом,
∫ f(x)dx = F(x) + C, где F(х) – одна из первообразных для f(x), а С – произвольная постоянная.
Используя формулы производных элементарных функций, составлена следующая таблица интегралов.
Таблица интегралов.
(1)
(α ≠ - 1)
(2)
(3)
(а > 0, а ≠
1), в частности,
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
10.1. Непосредственное интегрирование
Отметим важнейшие свойства неопределенного интеграла.
Свойство 1 (линейность) заключается в том, что интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от этих функций, и постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
.
Пример 1
1)
2)
3)
Свойство 2.
Если
то
.
Пример 2
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Следующие примеры показывают некоторые приемы интегрирования.
1)
(здесь мы использовали
формулу
)
2)
(произведено почленное деление)
3)
4)
5)
6)
