§ 9. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Постановка задачи: найти наибольшее и наименьшее значения дифференцируемой функции y = f(x) на заданном отрезке [a, b].
Алгоритм решения:
1) находим критические точки, принадлежащие отрезку [a, b];
2) вычисляем значения функции в этих точках и на концах отрезка;
3) из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее.
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = x3 + 6x2 на отрезке [–3; 1].
Решение. Находим критические точки: y' = 3x2 + 12x 3x2 + 12x = 0
3x(x
+ 4) = 0
x1
= –4, x2
= 0. Точка
не принадлежит отрезку [–3; 1] и, поэтому,
мы оставляем ее без внимания. Теперь
вычисляем значения данной функции в
точке x2
= 0 и на концах отрезка, т.е. в точках a
= –3 и b
= 1:
f(0) = 0, f(–3) = 27, f(1) = 7,
откуда видно, что fнаиб = f(–3) = 27, fнаим = f(0) = 0.
Примеры для самостоятельной работы.
Найти интервалы монотонности и точки экстремума функций:
1)
;
3)
;
5)
;
2)
;
4)
;
6)
y
= x ∙ ln x;
7) y
= x ∙ e x
; 8) y
=
9)
y
= x – arctg x
;
10)
.
Найти наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке.
11) y
= x3
+ 6x2
+ 9x,
[-2; 2]; 12)
[-3; 3];
13)
[-1; 1]; 14) y
= x2
ln
x,
Ответы: 1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9) экстремумов нет;
10)
11)
;
12)
13)
14)
В заключении этого раздела мы приведем примеры практических задач на нахождение наибольшего (или наименьшего) значения функции.
Задача 1. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Найти размеры прямоугольника, при которых площадь сечения будет наибольшей, если периметр сечения Р задан.
Решение.
Рис. 6
Обозначим через R – радиус полукруга и через Н – высоту прямоугольника (рис.6). В таком случае R и Н связаны равенством:
πR + 2Н + 2R = Р. (*)
Площадь сечения
тоннеля S
складывается из площади прямоугольника
2RH
и площади полукруга
.
Выражая 2Н из равенства (*):
2Н = Р – πR – 2R и подставляя в выражение для площади, получаем
т.е
Теперь площадь представлена как функция одной переменной R. Установим границы для R. Поскольку отрицательным R быть не может, то нижняя
граница R
= 0. Из соотношения (*) ясно, что чем меньше
Н, тем больше R.
Поэтому верхняя граница R
соответствует Н = 0, т.е.
Итак, мы должны найти наибольшее
значение S
на отрезке
.
Находим критическую точку:
.
Подсчет значений функции S на концах этого отрезка и в критической точке показали, что
Ясно, что наибольшим
является значение в критической точке
Значит, для того, чтобы иметь наибольшую
площадь сечения тоннеля, надо взять
при этом площадь сечения будет
.
Задача 2. Общая длина стен изображенного на плане дома (рис.7) должна быть равна 90 м. При какой ширине х коридора суммарная площадь остальных комнат будет наибольшей?
Рис. 7
Рис. 7
Решение. Обозначим через у длину одной из стен дома (рис.7). Тогда по условию 8х + 8х + 4у – х + 5х = 90
20х + 4у = 90. (*)
Площадь жилых комнат
Из равенства (*) выразим 4у и подставим в формулу площади
т.е. S = 180x - 45х2.
Принимая во внимание, что функция S выражает параболу с отрицательным старшим коэффициентом, делаем вывод, что наибольшее значение она достигает в точке максимума. Находим критическую точку
.
Эта точка является точкой максимума, так как
при х<2
а
при
Вывод: наибольшая суммарная площадь жилых комнат будет при ширине коридора х = 2м. Равна эта площадь
