Примеры для самостоятельной работы.

Найти (x) и для следующих функций.

Образец. Пусть f(x) = x³  sin 4x . Найти

Тогда

Подставляем :

.

1) f(x) = 5x⁴ – 2x³ + 3x + 4, a = 1 (17)

2) f(x) = x sin 5x, a =  (-5)

3) f(x) = x  (x³ + 1)⁷, a = 0 (1)

4) f(x) = x³  e^4x, a = 1 (7e⁴)

5) , a = 0 (ln 2)

6) , a = (– 10)

7) f(x) = e^2x  (x² + 4x + 1), a = 0 (6)

8) , a = 0 (2)

9) f(x) = (x² + 1)  (sin2x+sin5x), a = 0 (7)

10) f(x) = (2x⁴ – x² + 4)², a = – 1 (– 60)

11) , a = 2 ( )

12) f(x) = sin² 5x, a = (0)

13) f(x) = x  cos² 2x, a = (1)

14) f(x) = (e^6x + 1)⁵, a = 0 (480)

15) , a = 2 (–16⁴ – 3)

16) f(x) = (x² + 3)  (sin 7x + e^2x), a = 0 (27)

17) f(x) = x ln x, a = 1 (1)

18) f(x) = ln (x³ + 2x² + 1), a = 2 ( )

19) , a = 4 ( )

20) , a = ( )

21) , a = – 1 (– 2)

22) , a = 1 ( )

23) , a = – 1

24) , a = 0 (10)

25) , a = 0 (2)

26) , a = ( )

27) , a = 0 (1)

28) , a = 0 (6)

29) , a = ( )

30) , a = 0 (1)

§ 7. Нахождение пределов. Правила Лопиталя

Следующая теорема дает мощное средство вычисления пределов.

Теорема 5. Правило Лопиталя. Пусть функции f и g удовлетворяют условиям:

1) непрерывны в точке a и вблизи этой точки;

2) дифференцируемы вблизи точки a;

3) , ,

4) существует .

Тогда существует предел отношения данных функций и справедливо равенство:

,

т.е. предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Пример 1 Вычислить .

Решение. Условия 1) – 3) очевидно выполнены. Условие 4) всегда проверяется в ходе вычислений. Применяя правило Лопиталя, получаем:

.

Замечание. Теорема остается справедливой и в следующих случаях:

1) когда или – ;

2) когда x  +  или x  – ;

3) когда и .

Таким образом, правило Лопиталя применимо, когда f(x) и g(x) являются либо обе бесконечно малыми (неопределенность вида ), либо обе – бесконечно большими (неопределенность вида ).

Пример 2. Вычислить .

Решение. Здесь мы снова встречаем неопределенность вида , что и позволяет использовать правило Лопиталя:

.

Пример 3. Вычислить .

Решение. Числитель и знаменатель дроби являются б.б. функциями, т.е. перед нами – неопределенность вида Применив правило Лопиталя, получим:

.

Результат говорит о том, что функция y = ln x хоть и стремится к +, но значительно медленнее, чем функция g(x) = x. Убедитесь самостоятельно в том, что ln x  + значительно медленнее, чем функция x^0,01.

Пример 4. Вычислить предел .

Решение. Поскольку и числитель и знаменатель являются б.б.ф. при x  , то применив правило Лопиталя два раза подряд, имеем:

.

Пример 5. Вычислить .

Решение. .

Пример 6. Вычислить .

Решение. Здесь правило Лопиталя использовать нерационально. В самом деле, каждое применение этого правила снижало бы степень числителя на 1 и степень знаменателя лишь на 1. В то же время, заменяя числитель и знаменатель эквивалентными б.б. функциями, сразу получаем:

.

Во многих случаях полезно сочетать использование правила Лопиталя с заменой эквивалентных.

Пример 7. Вычислить .

Решение. Сначала б.м. множители знаменателя заменим эквивалентными и уже затем применим правило Лопиталя:

.

Пример 8. Вычислить .

Решение. Здесь перед нами неопределенность вида ( – ). После приведения выражения в скобках к общему знаменателю получим под знаком предела

отношение двух б.м.ф., что дает возможность и замены эквивалентных множителей и применения правила Лопиталя:

.