§ 3. Понятие функции. Область определения

Пусть Е – заданное множество точек числовой оси

Определение 1. Закон, который каждой точке ставит в соответствие единственное вполне определенное число у, называется функцией, определенной на множестве Е или отображением множества в

Обозначать функцию будем чаще всего буквой f, а также другими прописными или заглавными буквами латинского или греческого алфавитов. Запись y = f(x) говорит о том, что значению аргумента функция ставит в соответствие число . Множество называется областью определения функции f. Функция отображает каждое значение в некоторое число y = f(x), называемое образом точки x. Например, функция y = x² представляет собой операцию возведения аргумента x в квадрат. Так, числу x₁ = 3 она ставит в соответствие число числу - число и т.д. Функция каждому действительному числу x ставит в соответствие его синус. Например,

, , .

Определение 2. Если множество Е заранее не задано, а функция f определена аналитически формулой y = f(x), то областью ее определения называют множество всех значений x  R, для которых f(x) может быть вычислено.

Примеры.

1) y = 5x⁴ – 3x² + 2x + 7 – многочлен; его значение могут быть вычислены при всех x  R;

2) y = sin x, y = cos x, y = a^x (a > 0, a  1) тоже имеют областью определения всю числовую ось R;

3) – рациональная функция определена на всей числовой оси за исключением тех точек, где знаменатель равен нулю, т.е. за исключением точек x₁ = 5 и x₂ = 7;

4) – иррациональная функция. Она определена на множестве

5) y = log _а x(a > 0, a  1) – логарифмическая функция; определена на множестве

§ 4. Предел функции

Понятие предела является очень тонким математическим понятием, однако на интуитивном уровне, оно есть у каждого. Смысл точного понятия

предела состоит в том, что модуль может стать сколь угодно малым за счет того, что аргумент x очень близко подойдет к , т.е. если станет очень малым. Аналогично, смысл понятия предела состоит в том, что может стать сколь угодно малым за счет того, что аргумент x станет очень большим.

Основные теоремы о пределах Теорема 1. (предел постоянной равен самой постоянной).

Теорема 2. Если существуют и , то

Теорема 3. Пусть вблизи некоторой точки a f(x)  0. Тогда из условия следует, что A  0.

Теорема 4. Если , и вблизи некоторой точки a выполняются неравенства

f(x)  h(x)  g(x), то .

Все сформулированные теоремы справедливы также и когда

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 6 Функция (x) называется бесконечно малой (б.м.ф.) при x  a, если .

Аналогично, (x) - б.м.ф. при x  , если .

Например, при x  0 бесконечно малыми являются функции sin x, tg x, arcsin x, e^x – 1, ln (1 + x), а при x  3 – функции (x – 3)², 5^{x – 3} – 1, sin (2x – 6),

ln (4 – x), и т.п.

Из теоремы 2 вытекают важные следствия:

1) сумма двух б.м.ф. при x  a (или при ) является б.м.ф;

2) произведение б.м.ф. при x  a на функцию, ограниченную вблизи точки a, есть б.м.ф. при x  a.

Напомним, что функция g(x) называется ограниченной на множестве E, если все ее значения на этом множестве меньше некоторого числа. Если функция имеет конечный предел , то вблизи точки a она ограничена

Определение 7 Функция (x) называется бесконечно большой (б.б.ф.) при

x  a (или при x  ), если при приближении x к a ее значения по абсолютной величине неограниченно растут, становятся больше любого наперед заданного числа. Тот факт, что (x) – б.б.ф. обозначается записью .

Аналогично, если Ф(x) = б.б.ф. при x  , то будем писать .

Сумма двух бесконечно больших функций одного знака есть б.б.ф. того же знака.

Существует тесная связь между б.м. и б.б. функциями:

– если (x) – б.м.ф. при x  a, то – б.б.ф. при x  a,

– если (x) – б.б.ф. при x  a, то – б.м.ф. при x  a.

Функции (x) и (x) называются эквивалентными при x  a, если . Обозначается этот факт таким образом: (x) ~ (x). Это понятие

относится и к б.м. и к б.б. функциям. Оказывается, что при x  0 имеют место следующие эквивалентности: sin x ~ x, tg x ~ x, arcsin x ~ x, , e^x – 1 ~x,

ln(1 + x) ~ x, а при x   каждый многочлен эквивалентен своему старшему члену, например:

4x⁵ + 13x⁴ – 6x³ + 2x + 7 ~ 4x⁵.

При решении задач на вычисление пределов эффективно используется такой принцип:

к аждый б.м. или б.б. множитель числителя и знаменателя можно заменять эквивалентным.

Приведем примеры.

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

(здесь мы воспользовались также тем, что e⁰ = 1).

5) ;

6) .

При решении следующих примеров учитывается связь между б.м. и б.б. функциями.

7) ;

8) ;

9) .

В последнем примере мы воспользовались тем, что при x  0 функция является б.б.ф. Отсюда следует, что – б.б.ф. при x  0, но тогда функция является б.м. и ее произведение на ограниченную (в окрестности нуля) функцию (x + 5) тоже представляет собой б.м., вот почему предел равен нулю.

Рекомендуем читателю закрепить пройденный материал на нижеприведенных примерах; в скобках указаны ответы.

1)	2)
3)	4)
5) (0)	6) ()
7) (1)	8) (1)
9) (0)	10)
11) (–3)	12) (2)

13)	14) (cos a)