Решить самостоятельно уравнения.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Ответы:
1.
10.
2.
11.
3.
12.
4.
13.
5.
14.
6.
15.
7.
16.
8.
17.
9.
18.
§15. Ряды
Определение. Числовым рядом называется выражение вида
(15.1)
или в короткой
записи
(15.2).
Это определение очень формально. Интуитивно здесь просматривается желание сложить все числа (а ведь их бесконечное множество) последовательности {аn}. Можно ли это сделать? Что понимается под суммой ряда? Ясно, что любое конечное число членов ряда сложить можно, а как же сложить все?
Введем в рассмотрение числа:
Эти величины называются частичными суммами ряда (15.1). Теперь ясно, как определить сумму всех членов ряда.
Определение. Если существует конечный предел
то говорят, что ряд (15.1) сходится, а число S называется суммой ряда (15.1).
Если же
,
или же вообще не существует, то говорят,
что ряд (15.1) расходится.
Весьма характерным и исключительно важным примером является геометрическая прогрессия
(15.3)
Из курса элементарной математики известно, что
когда q ≠ 1.
Теперь попытаемся
найти
.
Известно, что
когда
,
,
когда
и
не существует, когда
Поэтому, когда , мы имеем
Итак, при | q | < 1 ряд сходится, и его сумма
Во всех остальных
случаях
либо бесконечен, либо не существует,
т.е. ряд расходится. В частности, при
ряд расходится, ибо
и
Существует целый ряд признаков, с помощью которых можно устанавливать сходится или расходится данный числовой ряд. В настоящем пособии мы не ставим целью освоение этих признаков. Для знакомства приведем лишь один из самых популярных признаков сходимости рядов с положительными членами.
Признак
Даламбера.
Пусть у ряда
с положительными членами существует
предел
Тогда, если
–
ряд сходится, если
– ряд расходится. Если же
,
то признак Даламбера не дает ответа и
необходимо применять другие признаки.
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд
.
Решение.
т.к. – ряд сходится.
Определение. Степенным рядом называется ряд вида
(15.4)
где
– переменная величина, принимающая
любые действительные значения
Числа
- называются коэффициентами степенного
ряда.
Степенной ряд может при одних значениях х сходится, при других – расходится.
Определение. Множество значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.
Любой степенной ряд сходится в точке х = 0. Доказано, что областью сходимости степенного ряда является симметричный относительно х = 0 интервал ( - R; R ): внутри этого интервала ряд сходится, за его пределами, т.е. при х < - R и х > R – расходится, а в точках х = - R и х = R может сходится, а может и
расходиться. Заметим, что может оказаться R = 0. Это означает, что ряд сходится лишь в одной точке х = 0. Может оказаться также, что R = ∞. В таком случае
областью сходимости
степенного ряда является вся числовая
ось ( - ∞; ∞), т.е. ряд сходится при всех
значениях х. Если для ряда (15.4) существует
предел
,
то
.
Важным приложением степенных рядов является представление ими основных элементарных (и других) функций.
Приведем некоторые результаты, которые будут иметь в дальнейшем большое значение. Вместе с представлением каждой функции указана область значений аргумента х, где соответствующий степенной ряд сходится и представляет данную функцию
Ряд, стоящий в правой части последнего представления, называется биномиальным. Он используется, в частности, в теории вероятностей, а представление
экспоненты
мы будем применять при изучении теории
массового обслуживания.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
(номер варианта задания совпадает с последней цифрой студенческого билета или зачетной книжки)
Вариант 1
Задача №1
1)Решить системы линейных уравнений.
2) Проверить
справедливость равенств
где
- матрица системы 1, а
- матрица системы 2.
1)
|
2)
|
Задача №2
Найти
,
если
1.
4.
2.
5.
3.
6.
Задача №3
Вычислить пределы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Задача №4
Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:
1.
2.
3.
Задача №5
Найти неопределенные интегралы
1. Использовать свойство линейности
1)
2)
3)
4)
2. Метод замены переменной (метод подстановки).
1)
2)
3)
4)
5)
6)
3. Интегрирование по частям.
1)
2)
3)
Задача №6
Вычислить определенные интегралы
1)
2)
3)
4)
Задача №7
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Задача №8
Найти объем тела
вращения вокруг оси OX
фигуры, ограниченной линиями
Задача №9
Найти общие решения дифференциальных уравнений 1-го порядка:
1)
;
2)
Вариант 2
Задача №1
1)Решить системы линейных уравнений.
2) Проверить справедливость равенств где - матрица системы 1, а - матрица системы 2.
1)
|
2)
|
Задача №2
Найти , если
1.
4.
2.
5.
3.
6.
.
Задача №3
Вычислить пределы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Задача №4
Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:
1.
2.
3.
Задача №5
Найти неопределенные интегралы
1. Использовать свойство линейности
1)
2)
3)
4)
2. Метод замены переменной (метод подстановки).
1)
2)
3)
4)
5)
6)
3. Интегрирование по частям.
1)
2)
3)
Задача №6
Вычислить определенные интегралы
1)
2)
3)
4)
Задача №7
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Задача №8
Найти объем тела
вращения вокруг оси OX
фигуры, ограниченной линиями
Задача №9
Найти общие решения дифференциальных уравнений 1-го порядка:
1)
,
2)
Вариант 3
Задача №1
1)Решить системы линейных уравнений.
2) Проверить справедливость равенств где - матрица системы 1, а - матрица системы 2.
1)
|
2)
|
Задача №2
Найти , если
1.
4.
2.
5.
3.
6.
Задача №3
Вычислить пределы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Задача №4
Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:
Задача №5
Найти неопределенные интегралы
1. Использовать свойство линейности
1)
2)
3)
4)
2. Метод замены переменной (метод подстановки).
1)
2)
3)
4)
5)
6)
3. Интегрирование по частям.
1)
2)
3)
Задача №6
Вычислить определенные интегралы
1)
2)
3)
4)
Задача №7
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Задача №8
Найти объем тела
вращения вокруг оси OX
фигуры, ограниченной линиями
Задача №9
Найти общие решения дифференциальных уравнений 1-го порядка:
1)
;
2)
Вариант 4
Задача №1
1)Решить системы линейных уравнений.
2) Проверить справедливость равенств где - матрица системы 1, а - матрица системы 2.
1)
2)
Задача №2
Найти , если
1.
4.
2.
5.
3.
6.
.
Задача №3
Вычислить пределы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Задача №4
Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:
Задача №5
Найти неопределенные интегралы
1. Использовать свойство линейности
1)
2)
3)
4)
2. Метод замены переменной (метод подстановки).
1)
2)
3)
4)
5)
6)
3. Интегрирование по частям.
1)
2)
3)
Задача №6
Вычислить определенные интегралы
1)
2)
3)
4)
Задача №7
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Задача №8
Найти объем тела
вращения вокруг оси OX
фигуры, ограниченной линиями
Задача №9
Найти общие решения дифференциальных уравнений 1-го порядка:
1)
;
2)
Вариант 5
Задача №1
1)Решить системы линейных уравнений.
2) Проверить справедливость равенств где - матрица системы 1, а - матрица системы 2.
1)
2)
Задача №2
Найти , если
1.
4.
2.
5.
3.
6.
.
Задача №3
Вычислить пределы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Задача №4
Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:
Задача №5
Найти неопределенные интегралы
1. Использовать свойство линейности
1)
2)
3)
4)
2. Метод замены переменной (метод подстановки).
1)
2)
3)
4)
5)
6)
3. Интегрирование по частям.
1)
2)
3)
Задача №6
Вычислить определенные интегралы
1)
2)
3)
4)
Задача №7
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Задача №8
Найти объем тела
вращения вокруг оси OX
фигуры, ограниченной линиями
Задача №9
Найти общие решения дифференциальных уравнений 1-го порядка:
1)
;
2)
Вариант 6
Задача №1
1)Решить системы линейных уравнений.
2)Проверить справедливость равенств где - матрица системы 1, а - матрица системы 2.
1)
|
2)
|
Задача №2
Найти , если
1.
4.
2.
5.
3.
6.
.
Задача №3
Вычислить пределы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Задача №4
Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:
Задача №5
Найти неопределенные интегралы
1. Использовать свойство линейности
1)
2)
3)
4)
2. Метод замены переменной (метод подстановки).
1)
2)
3)
4)
5)
6)
3. Интегрирование по частям.
1)
2)
3)
Задача №6
Вычислить определенные интегралы
1)
2)
3)
4)
Задача №7
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Задача №8
Найти объем тела
вращения вокруг оси OX
фигуры, ограниченной линиями
Задача №9
Найти общие решения дифференциальных уравнений 1-го порядка:
1)
; 2)
Вариант 7
Задача №1
1)Решить системы линейных уравнений.
2)Проверить справедливость равенств где - матрица системы 1, а - матрица системы 2.
1)
|
2)
|
