14.1 Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения вида

(14.3)

Т.к. то уравнение (14.3) можно переписать так:

Теперь разделяем переменные (отсюда и название таких уравнений), т.е. с одной стороны собираем все, что связано с переменной у, а с другой стороны –

все, что связано с х.

Интегрируя это равенство, получаем общее решение уравнения (14.3):

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Разделим переменные х и у:

Здесь мы произвольную постоянную записали в более удобной форме .

Имеем далее ,

откуда

и, значит,

В данном примере функцию удалось явно выразить через Так бывает, к сожалению, не всегда.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Перенесем вычитаемое в правую часть и разделяем переменные, используя свойство пропорции

После интегрирования (справа - подстановка) имеем:

Полученное равенство выражает связь неизвестной функции у с аргументом х и параметром С, но эта связь неявная. В таких случаях говорят, что найден общий интеграл данного дифференциального уравнения. Таким образом,

общий интеграл – это общее решение дифференциального уравнения в неявной форме.

Пример 3. Решить задачу Коши:

Решение. Найдем вначале общее решение данного уравнения:

Теперь решим задачу Коши. Для этого нужно выбрать С так, чтобы выполнялось начальное условие: , т.е. , откуда . Возвращая это значение С в общее решение, получаем искомое частное решение, т.е. решение задачи Коши.

.

Примеры для самостоятельного решения.

1) х у′ = (lnx + 1)у	7)
2) уdх – (ху – 3х)dу = 0	8)
3)	9) 2ху′ + 9 = у2
4) у′ ∙ sin2x = у lnу	10) у′ ∙ (sin2x + 1) = tgy ∙ cos x
5)	11) у′ = (4sin2x – x2) ∙ y2
6) х у dх – (х2 + 1)dу = 0	12) (ху2 + х)dy + ( у - у)dx = 0

Ответы:

1) 7)

2) 8)

3) 9)

4) 10)

5) 11)

6) 12) .

14. 2. Линейные уравнения

Линейными уравнениями 1-го порядка называются уравнения вида

, (14.4)

где и – известные непрерывные функции.

Для решения линейных уравнений существует несколько методов. Мы представим здесь метод, разработанный Бернулли. Идея заключается в том, что неизвес

тная функция ищется в виде произведения двух неизвестных функций u = u(x) и v = v(x),для каждой из которых будет получено уравнение с разделяющимися переменными. Итак, пусть y = uv. Тогда y = u′v + uv′. Подставив и в (14.4) имеем

u′v + uv′ + p(x)uv = q(x),

откуда

u′v + u(v′ + p(x)v) = q(x). (14.5)

Поскольку уравнение одно, а неизвестных функций две, мы вправе наложить на одну из этих функций удобное для нас ограничение. Потребуем, чтобы выражение в скобках было равно нулю:

v′ + p(x)v = 0

Это позволяет найти функцию v как частное решение уравнения с разделяющимися переменными:

Подставляем найденную функцию v в уравнение (14.5) и, учитывая, что второе слагаемое в левой части равно нулю, получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно функции u:

позволяющее отыскать функцию u:

Остается записать искомую функцию как произведение u и v:

.

Пример 4. Решить уравнение

.

Решение. Пусть у = u ∙ v. Тогда у′ = u′v + uv′ и уравнение принимает вид:

функцию v выбираем так, чтобы

v′ + 2хv = 0.

Тогда .

Возвращаясь к соотношению (14.6), получаем:

откуда

Таким образом

общее решение.