13.2 Объем тела вращения
Объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной отрезком [а, b] оси ОХ, прямыми х = а, х = b и графиком функции у = f(x) (рис. 17), вычисляется по формуле.
(13.1)
Рис. 17
Пример 10.
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды у = sin x и этой осью. (рис. 18)
Решение. Воспользовавшись формулой (13.1), получаем:
.
Рис. 18
Пример 11.
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями
Решение. На рис. 19 можно видеть, что искомый объем V представляет собой сумму двух объемов:
.
Рис. 19
Пример 12
Найти объем тела,
образованного вращением вокруг оси ОХ
фигуры, ограниченной линиями
(рис. 20)
Рис. 20
Решение. Решая систему уравнений
,
находим абсциссы точек пересечения парабол: х = -2, х = 2. Теперь ясно, что искомый объем получится вычитанием из объема тела вращения криволинейной трапеции х = 0, х = 2, у = 0 объема тела вращения криволинейной трапеции х = 0, х = 2, у = 0.
Примеры для самостоятельной работы.
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ плоской фигуры, ограниченной данными линиями.
1) у = х2, х = 2, у = 0. |
6) у = х2 +1 , х = 0, х = 1. |
2) у = √х . у = 2, х = 0. |
7) у = √х , х = 9 , у = 0. |
3) у = 4 – х, у = х, х = 0. |
8) у = - х + 6 , у = 2х , у = 0. |
4) у = 6 – х , у = 2х, х = 0. |
9) у = х2 , у = х + 2, y = 0. |
5) у = 4 – х2, у = 0. |
10) у = 2 – х2 , у = х2. |
Ответы: 1)
2) 8π; 3) 16 π; 4) 40 π; 5)
6)
7)
8) 32 π; 9)
10)
§14. Дифференциальные уравнения
Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется всякое уравнение, содержащее независимую переменную х, неизвестную функцию у и ее производную у′. Общий вид такого уравнения
F(х, у , у′) = 0,
где F – заданная функция.
Дифференциальные уравнения вида
у′ = f(х, у), (14.1)
где f – непрерывная функция своих аргументов, называется уравнением, разрешенным относительно производной. Мы будем рассматривать только такие уравнения.
Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая, будучи подставлена в него, обращает уравнение в тождество.
Например, функция у = х3 является решением дифференциального уравнения
.
Действительно, у = х3, у′ = 3х2 и левая часть уравнения тождественно равна
,
т.е. тождественно равно правой части.
Часто возникает задача:
Найти решение у = g(х) дифференциального уравнения (14.1), удовлетворяющее дополнительному ограничению
g(х0)= у0, (14.2)
где х0 и у0 – наперед заданные числа.
Условие (14.2) называется начальным условием, а сформулированная задача – задачей Коши.
Если функция f достаточно гладкая, то при любых х0 и у0 существует и при том единственное решение уравнения (14.1), удовлетворяющее начальному условию (14.2).
Каждое такое решение называется частным.
Общим решением дифференциального уравнения (14.1) называется функция у = φ(х, С), зависящая от аргумента х и произвольной постоянной С, содержащая в себе все частные решения.
К сожалению, общего способа решения уравнений вида (14.1) не существует. В связи с этим выделяются отдельные типы дифференциальных уравнений и изучаются методы их решений. В настоящем пособии рассматриваются лишь два типа дифференциальных уравнений.