12. Вычисление определенного интеграла

Теорема. Если функция F(x) – первообразная для функции f(x), то

Эта формула Ньютона-Лейбница.

Замечание. При решении конкретных примеров на вычисление интегралов тяжело одновременно и находить первообразную и вычислять ее значения на верхнем и нижнем пределах. В связи с этим используется промежуточная формула записи

,

означающая, что первообразная функция F(x) уже найдена, но пределы интегрирования еще не подставлены.

Доказательство теоремы (вывод формулы Ньютона-Лейбница). Пусть F(х) – любая первообразная для f(x). Еще одну из первообразных мы знаем – это площадь криволинейной трапеции с переменным основанием [а, х] (теорема 1, § 10). На основании теоремы 2 § 10 имеем:

F(x) ≡ S(x) + C.

Полагая в этом тождестве х = a и учитывая, что S(a) = 0, получаем С = F(а) и поэтому

F(x) ≡ S(x) + F(a),

т.е. S(x) ≡ F(x) – F(a).

Теперь полагаем в этом тождестве х = b, имеем:

S (b) = F(b) – F(a).

Но S(b) – это площадь криволинейной трапеции с основанием , т.е. это интеграл от до от функции f(x). Следовательно

что и требовалось.

Приведем примеры вычисления определенных интегралов. В частности, покажем использование в определенном интеграле методов подстановки и интегрирования по частям.

Пример 1.

Вычислить интеграл

.

Пример 2.

Вычислить интеграл .

Решение.

.

Пример 3.

Вычислить интеграл .

Решение.

Интегрирование по частям в определенном интеграле проводится по формуле

,

где u и v – функции, непрерывно дифференцируемые на отрезке .

Пример 4.

Вычислить интеграл

Решение.

.

Пример 5.

Вычислить интеграл

Решение.

.

Замена переменных в определенном интеграле должна обязательно сопровождаться расчетом новых пределов интегрирования.

Пример 6.

Вычислить интеграл

Решение. Чтобы избавиться от иррациональности, сделаем замену переменной 1+х = t². тогда х = t² – 1, dx = 2tdt. Для нахождения пределов интегрирования по переменной t выразим t через х: Подставляя нижний и верхний пределы переменной х, получим нижний и верхний пределы переменной t.

при х = 3

при х = 8 .

Выполняя подстановку, имеем:

Пример 7.

Вычислить интеграл .

Решение. .

Производим замену sin x = t. Тогда

,

.

13. Приложения определенного интеграла

13.1. Вычисление площадей

Подсчет площадей будем производить по формулам (11.4) и (11.5).

Пример 8. Найти площадь, ограниченную одной полуволной синусоиды и осью ОХ (рис. 15).

Рис. 15

Решение. .

Пример 9.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями х = 1, х = 4 (рис. 16)

Рис. 16

Решение. Согласно формуле (11.5)

Примеры для самостоятельной работы.

Вычислить площади плоских фигур, ограниченных линиями.

1) х = у2, x = 9	2) у = х2, у = 2 – х ,
3) х2 = 2у, х = 2, у = 0	4) у = 4 – 4х2, у = 0,
5) у = х2, у = 2 - х2	6) у = - х + 4
7) у = 4х – х2, у = 0	8) у = 2х – х2, у = - х ,
9) у = ln х, у = 1, у = 0, х = 0	10) y = sin x, y = cos x, y = 0;
11)	12)

Ответы: 1) 36; 2) 4,5; 3) 4/3; 4) 16/3; 5) 8/3; 6) 4 – 3 ln3;

7) 32/3; 8) 4,5; 9) e – 1; 10) 2 - √2; 11) 6 – 4 ln2 ; 12) 16.