Ростовский институт сервиса
Южно-Российского государственного университета
экономики и сервиса
Математика
Для студентов специальности
«социально-культурный сервис и туризм»
(методическое пособие)
Ростов-на-Дону
2005
Гробер В.М., Гробер О.В., Карпова С.И. Математика для студентов специальности СКСТ. Методическое пособие. Ростов-на-Дону, Ростовский институт сервиса, 2005 г., 86 стр.
Изложен краткий курс лекций по математике, сопровождающийся большим числом примеров с их полным решением и анализом полученных результатов.
В каждом разделе приведены примеры для самостоятельной работы и к ним даны ответы.
Гробер В.М., Гробер О.В., Карпова С.И., 2005
Введение
Учебный план и рабочая программа по математике для студентов специальности СКСТ предполагают совсем небольшое количество часов лекций и практических занятий. В то же время, студенты должны хотя бы в небольшом объёме ознакомиться со многими разделами математики в течение короткого периода времени. Это делает весьма затруднительным использование ими классических учебников, в которых изложение всех частей подробное и строгое.
Авторы поставили цель представить в небольшом пособии всё самое необходимое из курса математики, как для развития общего интеллекта студентов, так и для подготовки курса основ теории массового обслуживания, который изучается вслед за общим курсом математики. При изложении сложных понятий и фактов авторы старались найти оптимальное соотношение доступности и строгости изложения. Мы надеемся, что настоящее пособие поможет студентам освоить основы высшей математики.
Желаем успехов!
§ 1 Определители второго и третьего порядков.
Свойства определителей
Матрицей
размера
называется прямоугольная таблица чисел
содержащая
строк
и
столбцов. Каждый элемент матрицы
имеет два индекса:
–
номер строки и
– номер столбца. Матрица называется
квадратной порядка
если она содержит
строк и
столбцов. С каждой квадратной матрицей
связано понятие определителя.
Определителем
матрицы
называется
число
Пример
1. Вычислить определитель матрицы
Решение.
Пусть теперь нам дана квадратная матрица 3-го порядка
Минором элемента называется определитель 2-го порядка, составленный из элементов, оставшихся после вычёркивания – ой строки и – го столбца.
Обозначается
минор элемента
символом
Например,
для того, чтобы записать
надо
из матрицы
мысленно вычеркнуть первую строку и
второй столбец и вычислить определитель,
составленный из оставшихся элементов:
Алгебраическим
дополнением
элемента
называется
его минор, взятый со знаком
обозначается
алгебраическое дополнение элемента
через
Значит,
Определителем 3-го порядка матрицы называется сумма произведений элементов первой строки матрицы на их алгебраические дополнения:
Пример 2. Вычислить определитель матрицы
Решение. Находим миноры и алгебраические дополнения элементов 1-ой строки матрицы.
Значит,
Свойства определителей:
Определитель не меняется при транспонировании, т.е., если его строки сделать столбцами, а столбцы строками. Поэтому в дальнейшем большинство свойств формулируется и доказывается для строк.
Если две строки определителя поменять местами, то определитель меняет знак.
Если все элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.
Если все элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.
Если в определителе две строки (два столбца) одинаковы или пропорциональны, то определитель равен нулю.
Определитель не изменяется, если к элементам какой либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
Сумма произведений элементов любой строки (столбца) на свои алгебраические дополнения равна самому определителю. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна 0.
§ 2. Системы линейных алгебраических уравнений.
Метод Крамера
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными
Для решения таких систем существует различные способы решения. Мы здесь приводим один из самых распространенных методов, основанных на подсчетах определителей – метод Крамера.
Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы
Наряду с ним, необходимо рассчитать еще три определителя, каждый из которых получается заменой столбца при соответствующем неизвестном на столбец свободных членов:
Результат формулируется таким образом.
Теорема.
Если
,
то система имеет единственное решение,
определяемое формулами Крамера:
Пример. Решить систему уравнений
Решение. Вычисляем определители
Теперь, воспользовавшись формулами Крамера, найдем значения неизвестных:
Ответ:
Примеры для самостоятельной работы:
1 ) x + 2y + 3z = 14 2) 2x – 3y + z = 8 3) 2x – 3y + z = 0
2x + y – z = 1 5x – y – z = 10 5x + y – 2z = -1
3x + 2y + 2z = 13 x + 3y + 4z = 3 x – y + z = 3
4 ) 2x + 3y + z = 6 5) 3x – y + 2z = 13 6) 3x – y + 2z = 10
3x – y – z = 1 2x + y – z = 0 7x + z = 22
5x + 2y + 4z = 11 5x + 3y + 7z = 28 -x + 3y + 2z = 2
7 ) x + 3y – z = 3 8) 2x – y + 4z = 7 9) 2x + 3y – 4z = 1
2x – y + 4z = 5 7x + 3y – z = 3 3x – y + 2z = 12
3x + 2y + 5z = 10 5x – 2y – 3z = 4 4x + 3y – 3z = 9
1 0) 4x + 4y – 3z = -7 11) x – 5y + z = 0 12) 3x – y + z = -2
3x – y + 2z = 7 2x + y – 2z = -1 2x – 5y + 2z = -20
5x + 3y – z = -2 3x + 2y – 4z = -4 3x – 2y + 3z = -8
Ответы: 1. (1; 2; 3), 2. (2; -1; 1), 3. (1; 2; 4), 4. (1; 1; 1), 5. (2; -1; 3), 6. (3; 1; 1), 7. (1; 1; 1), 8. (1; -1; 1), 9. (3; 1; 2), 10. (1; -2; 1), 11. (2; 1; 3), 12. (1; 4; -1).
Замечание.
Мы здесь рассматриваем лишь те системы,
в которых главный определитель
.
Если
то система либо имеет бесчисленное
множество решений, либо вообще не имеет
решений. В настоящем пособии мы этот
случай не рассматриваем.