7.Доказательство утверждения .

Теорема. Для элементов матрицы имеют неравенства и след-ноб нижняя цена игры не больше ее верхней цены в чистых стратегиях:

Д-во. По определению показателей эффективности стратегий Ai и определению показателей неэффективности стратегий Bj игрока В имеем

, cлед-но доказано

так как доказанное неравенство справедливо для любых i=1,..,m, j=1,..n, то оно будет справедливым в частности для номеров i=i₀ и j=j₀ соответственно максиминной и минимаксной стратегией A_i0 и B_j0:

Тогда в силу получим требуемое неравенство

8.Теорема об удовлетворительности игровой ситуации для игрока a.

Т. Ситуация (A_i0, B_jo) будет удовлетворительна для игрока А Тогда и только тогда, когда его выигрыш совпадет с показателем неэффективности стратегии B_jo игрока В: , то есть будет максимальной в j-ом столбце матрицы игры

Д-во: Пусть ситауция (A_i0, B_jo) удовлетворительна для игрока А. Тогда по определению справедливо нер-во .Из этого неравенства и по определению (1) показателя неэффективности стратегии B_j0 следует, что , то есть нер-во доказано. Тогда применяя (1) при j=j₀ получим , то есть доказано

9. Теорема об удовлетворительности игровой ситуации для игрока b

Т. Ситуация (A_i0, B_jo) будет удовлетворительна для игрока В Тогда и только тогда, когда его проигрыш совпадет с показателем эффективности стратегии A_io игрока A: , то есть будет минимален в i-ой строке матрицы игры

Д-во: Если ситауция (A_i0, B_jo) удовлетворительна для игрока В, то из нер-ва и равенства при i=i₀ получим и рав-во доказано

Если же это справедливо то по при i=i₀ будем иметь то есть доказано неравенство

10. Равновесие в антагонистической игре.

Ситуация (A_i0, B_jo) называется равновесной , если она удовлетворительна для каждого из игроков А и В то есть если выполняются неравенства и : (1) или равенства и : (2)

Таким образов двойное нер-во (1) и двойное равенство (2) эквивалентны

11. Смешанные стратегии. Функция выигрыша и цена игры в смешанных стратегиях.

Смешанная стратегия игрока – стратегия игрока, состоящая в случайном выборе им одной из своих чистых стратегий с определенной вероятностью, поэтому смешанную стратегию, например, игрока А, имеющего m чистых стратегий можно представить m-мерным вектором Р=(р₁,…,р_m), р_i , i=1,2,…m.

Смешанной стратегией игрока называется совокупность его чистых стратегий с определёнными для них вероятностями выбора:

, , .

Цена игры в смешанных стратегиях – общее значение нижней и верхней цены игры в смеш.стратегиях: V= относительно которых доказано, что они всегда существуют и равны.

Нижняя цена:

Верхняя цена игры:

Функция определенная на декартовом произведении множеств смешанных стратегий и соответственно игроков A и B и ставящая в соответствие каждой ситуации в смешанных стратегиях игрока A и Q = игрока B средневзвешенный выигрыш игрока А в этой ситуации, определяемый выражением в правой части равенства , называется выигрыш-функцией игрока А в смешанных стратегиях.

Выигрыш функция в смешанных стратегиях, заданную в координатной форме, можно представить и в матричной форме: , где - вектор-строка смешанной стратегии игрока А размера [1 m]; А-матрица выигрышей игрока А в чистых стратегиях размера [m n], - вектор столбец размера [n 1] смешанной стратегии игрока B.