50. Модель «Проблема общего».
Рассмотрим теоретико-игровую проблему, связанную с использованием некоторого общего ресурса. Данная проблема поставлена в следующей её интерпретации.
Пусть в
игре участвуют K
фермеров. Летом их козы пасутся на
зелёном поле. Обозначим через
– число коз у k-го
фермера. Тогда численность всего стада
будет составлять величину
.
Затраты на покупку и содержание козы
равны величине c.
Будем предполагать, что данная величина
не зависит от количества коз в наличии
у фермера. Стоимость одной козы определим
как функцию
.
Предполагая,
что козе необходим определённый уровень
пропитания для выживания, будем считать,
что существует некоторое максимальное
число коз, которое может прокормиться,
.
Тогда функция стоимости козы может быть
описана следующим образом:
,
если
,
но
,
если
.
Весной
одновременно и независимо фермеры
выбирают, сколько заводить коз, т.е.
определяют величину
.
Выигрыш
k-го
фермера определим с помощью функции
.
Таким
образом, если существует равновесная
по Нэшу игровая ситуация
,
то величина
должна максимизировать функцию
в условиях существования оптимальной
ситуации для других игроков
.
Решив
задачи оптимизации
,
для всех участвующих в игре фермеров,
получим систему:
,
,
.
Решив эту систему, получим набор оптимальных по Нэшу стратегий игроков.
51. Оптимальность по Парето в неантагонистических (бескоалиционных) играх.
Ситуация
в бескоалиционной игре
называется оптимальной
по Парето,
если не существует ситуации
,
для которой имеет место неравенство
,
.
Другими словами, в оптимальной по Парето ситуации игроки не могут совместными усилиями увеличить выигрыш кого-либо из них, не уменьшив при этом выигрыш кого-либо другого.
Подчеркнём формальное различие ситуации равновесия по Нэшу от ситуации, оптимальной по Парето: в первой ни один игрок, действуя в одиночку не может увеличить своего собственного выигрыша; во второй – все игроки, действуя совместно, не могут увеличить выигрыш любого игрока, не ухудшив положения другого или других игроков.
В равновесии
по Нэшу соглашение о выборе фиксированной
ситуации равновесия удерживает каждого
игрока от отклонения от неё. В оптимальной
по Парето ситуации отклонившийся игрок
может в некоторых случаях получить
существенно больший выигрыш. В то же
время сильно
равновесная ситуация
,
или
,
(строгие знаки неравенства) является и
оптимальной по Парето.
52. Позиционная форма игры.
Позиционная игра – это бескоалиционная игра, моделирующая процессы последовательного принятия решений игроками в условиях меняющейся во времени и, вообще говоря, неполной информации.
Процесс самой игры состоит в последовательном переходе от одного состояния игры к другому, который осуществляется либо путём выбора игроками одного из возможных действий в соответствии с правилами игры, либо случайным образом. Право выбора первого хода в позиционных играх часто определяется случайным образом.
Состояния игры принято называть позициями (отсюда и название – позиционные игры), а возможные выборы в каждой позиции – альтернативами.
Характерной особенностью позиционной игры является возможность представления множества позиций в виде древовидного упорядоченного множества, которое называется деревом игры
С
имволы
П,
A
и B
в кружке
указывает, кто из игроков, П,
A
и B,
делает очередной ход. При этом символом
П
обычно обозначается ход в игре,
осуществляемый не игроком, а каким-нибудь
случайным механизмом. Например, в
позиционной игре, представленной тут
своим деревом, первый ход производится
случайно.
Пользуясь графическим описанием игры, можно сказать, что процесс игры состоит в переходе от начальной позиции к окончательной через непосредственно следующие одна за другой промежуточные позиции.
Каждая окончательная вершина определяет единственную цепь (последовательность идущих друг за другом звеньев), связывающую начальную вершину сданной
Т
акая
цепь называется партией.
Число различных партий равно числу
окончательных вершин (позиций).
В каждой окончательной позиции задан числовой выигрыш игроков.
Различают позиционные игры с полной информацией и позиционные игры с неполной информацией.
Позиционная игра называется игрой с полной информацией, если в любой точке любой ее партии игрок, делающий ход, точно знает, какие выборы были сделаны раньше.
В игре с неполной информацией позиция дерева игры, в которой находится игрок, точно неизвестна. Этот игрок знает лишь некоторое множество позиций, в которых он потенциально может находиться на данном этапе реализации игры. Такое множество позиций называют информационным множеством игры.