№ 40. Основные понятия вероятностной теории погрешности: случайная величина, генеральная совокупность, выборка и их характеристики

Случайной, называют величину, которая в результате опыта принимает то или иное значение.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретная случайная величина может принимать лишь счетное множество значений с вероятностями . При этом все возможные значения случайно величины образуют полную группу событий, для которых

Наиболее полной характеристикой дискретной величины является ее распределение вероятностей. Оно представляет собой пересечения всех возможных значений случайной величины с указанием вероятностей этих значений.

Непрерывная случайная величина может принимать любое значение из конечного или бесконечного интервала. Поскольку значения могут отличаться друг от друга на сколь угодно малую величину, то вероятность каждого из них также бесконечно мала.

Генеральная совокупность – полное множество всех возможных значений случайной величины (результатов отдельных измерений).

Однако из-за ряда (экономических, технических и др.) число экспериментально полученных значений изучаемой величины всегда ограничено некоторым действительным множеством, выборкой. Выборка, являясь лишь одним из вариантов наблюденных значений физической величины, не содержит точной информации об ее распределении. Тем не менее, она позволяет получить оценки числовых характеристик плотности и функции распределения, что является предпосылкой выборочного метода.

Наиболее важным принципом в применении этого метода является обеспечение равно вероятности всем элементам, образующим генеральную совокупность, быть выбранными. Реализация этого принципа позволяет получить так называемую репрезентативную выборку, характеристики которой при увеличении числа составляющих ее элементов стремятся к характеристикам генеральной совокупности.

№ 41. Ряды распределения: гистограмма, полигон, кумулятивная функция. Порядок построения, значение, применение

Гистограмма – разновидность графического изображения экспериментальных данных.

Полигон распределения относительных частот представляет собой замкнутую ломаную кривую, которая образуется, если на гистограмме соединить середины верхних сторон образующих ее элементарных прямоугольников.

Кумулятивная функция – изображение интервального вариационного ряда в прямоугольной системе координат, при котором на ось абсцисс наносят середины интервалов, на которые разделен ряд, на ось ординат – накопленные (суммарные) частоты. Таким образом, кумулятивная функция аппроксимирует функцию распределения экспериментальных данных.

Предшествующий графическому изображению вариационного ряда экспериментальных данных (в виде гистограммы и кумулятивной функции) процесс их разделения на интервалы называется группированием.

Порядок построения графиков:

1. График начинают строить с выбора масштаба на координатной оси, указание размерностей по осям.

2. Минимальное деление шкалы графической бумаги должно примерно соответствовать вероятной ошибке измеряемой величины. Соотношение масштабов по осям должно быть таким, чтобы вся координатная плоскость была занята.

3. Графики можно строить применяя функциональные или равномерные шкалы.

4. На подготовленном поле для графика могут наноситься как сами экспериментальные точки, так и усредненные точки.

5. Поле ошибок зависимой переменной указывают в виде ограниченного отрезка прямой. Для на этого отрезка равна удвоенной величине ошибки.

6. При большом количестве экспериментальных точек и примерно равно дисперсии допускается задавать поле ошибок в искомых точках.

7. Координатная плоскость должна быть как можно меньше загружена лишней информацией.

8. Не допускаются любые надписи на координатной плоскости.

9. Нуль ставится один раз в одном месте.

№ 42. Графоаналитический метод проверки гипотезы о соответствии эмпирического закона распределения нормальному закону

№ 43. Оценка случайных погрешностей. Доверительная вероятность и доверительный интервал

Пусть статистическая оценка служит оценкой параметра . Очевидно, что чем меньше по абсолютной величине разность , тем оценка точней. Поскольку случайная величина, то и эта разность также является случайной величиной. Потребуем, чтобы с вероятность v разность не превышала величину > 0.

Назовем точностью оценки, а – доверительной вероятностью. Перепишем последнее выражение в следующем виде:

Интервал называемый доверительным интервалом, с вероятностью включает в себя (покрывает) истинное значение параметра .

Поскольку случайная величина, то и границы доверительного интервала тоже являются случайными.

№ 44. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Попарная независимость событий и независимость в совокупности. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса (теорема гипотез)

Условная вероятность некоторого события А относительно другого события В – это вероятность события А при условии, что произойдет условие В. Условную вероятность обозначают – P(A/B).

События называются независимыми, если вероятности появления каждого из них не зависят от появления или не появления прочих.

Случайные события называются зависимыми друг от друга, если вероятность появления одного из них изменяется в зависимости от появления или не появления других событий.

Формула полной вероятности:

Вероятность события А есть сумма произведений вероятностей каждой из гипотез на условную вероятность события А при этой гипотезе.

Формула Байеса: