№ 25. Линейная регрессия и корреляция

Регреессия — зависимость среднего значения какой-либо величины от некоторой другой величины или от нескольких величин.

Корреляция — статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин.

Пусть имеется достаточно оснований полагать регрессию линейной. Тогда уравнение выборочной линии регрессии будет иметь вид:

Найдем входящие в коэффициенты регрессии и с использованием МНК.

Таким образом, прямая регрессии, построенная в соответствии с МНК, проходит через точку , являющуюся центром тяжести поля экспериментальных точек и имеет угловой коэффициент (коэффициент наклона) прямой регрессии относительно оси X равный .

По взаимному расположению прямых регрессии можно судить о тесноте связи между случайными величинами. Отмеченное выше позволяет сформулировать следующие основные свойства выборочного коэффициента корреляции.

1. При величины X и Y являются некоррелированными, т.е. они не связаны линейной связью.

2. Если же X и Y распределены нормально, то условие свидетельствует о их полной независимости.

3. Возрастанию абсолютной величины соответствует возрастание тесноты линейной корреляционный связи, которая при переходит в функциональную.

В практике экспериментальных исследований линейная корреляция встречается достаточно часто. Например, линейной регрессией с коэффициентом корреляции близким к единице описывается взаимосвязь скоростей распространения продольных упругих волн с плотностью, прочностью, динамическим модулем упругости и другими физико-механическими свойствами.

№ 26. Постановка измерительной задачи

Постановка измерительной задачи предполагает, прежде всего, выявление конкретных физических величин и параметров, подлежащих измерению. При этом отправной точкой является цель измерений, определяющая те свойства объекта, которые с учетом этой цели наиболее существенны.

Определенный набор указанных свойств позволяет выбрать модель объекта (процесса, явления), параметры которой или их функционалы определяют измеряемые величины. Особенностью такой модели является то, что она должна отражать не только свойства объекта, подлежащие измерению, но и свойства, которые могут оказать помеховое влияние на результаты измерений.

Таким образом, моделирование объекта представляет собой первую необходимую процедуру, связанную с измерениями.

Основные требования, которым должна удовлетворять модель объекта измерения, заключаются в следующем.

1. Она должна настолько соответствовать реальному объекту, чтобы можно было решить задачу измерений с требуемой точностью.

2. Модель должна быть достаточно простой, чтобы затраты на решение задачи измерений были небольшими.

3. Измеряемые параметры модели должны быть достаточно стабильны в процессе измерения.