26. Производные высших порядков

Пусть функция определена и дифференцируема на интервале . Тогда ее производная представляет собой функцию переменной также определенную на интервале . в свою очередь может оказаться дифференцируемой в некоторой точке интервала . Производную от функции называют второй производной (производной второго порядка) от функции и обозначают или . Итак, .

Далее мы можем аналогично ввести понятие третьей производной, как производной от второй: ,затем четвертой и т. д.

27. Теоремы о непрерывных функциях

Теорема (об устойчивости знака непрерывной функции). Если функция непрерывна в точке , и если , то найдется такая -окрестность точки , что для всех значений аргумента из указанной -окрестности функция не обращается в нуль и имеет знак, совпадающий со знаком .Теорема (о прохождении непрерывной функции через нуль при смене знака). Пусть функция непрерывна на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков. Тогда внутри отрезка найдется хотя бы одна точка , в которой функция обращается в нуль ( ).Теорема (о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение). Пусть функция непрерывна на отрезке , причем , . Пусть — любое число, заключенное между и . Тогда на отрезке найдется точка такая, что .Теорема (Вейерштрасса) Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке и имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значение.

28. Локальный max и min

Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум. Если в некоторой окрестности точки имеет место строгое неравенство ( ), то точка называется точкой строгого локального максимума (минимума). Ферма (необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции). Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то .Пусть функция определена всюду в некоторой окрестности точки . Точка называется точкой локального максимума, если найдется -окрестность точки , в пределах которой значение является наибольшим, то есть для любого из интервала справедливо неравенство . Точка называется точкой локального минимума, если найдется -окрестность точки , в пределах которой значение является наименьшим, то есть для любого из интервала справедливо неравенство .

18.Производная

Производной функции в точке называется конечный предел (если он существует) при отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента.

Производную функции в точке будем обозначать символом или .

Физический смысл производной Рассмотрим движение материальной точки по прямой линии. Пусть — это путь, пройденный точкой от начала отсчета за время , а функция описывает закон движения материальной точки по прямой линии. Тогда — это путь, пройденный точкой за промежуток времени от до , а отношение — средняя скорость движения на отрезке . В таком случае предел отношения при , равный , определяет мгновенную скорость точки в момент времени . Производная называется предельными издержками производства. Аналогично можно определить предельный доход, предельную выручку, предельную полезность и так далее.