17.Понятие обратной функции

Пусть функция задана на отрезке , и пусть множеством значений этой функции является отрезок . Пусть каждому значению из отрезка ставится в соответствие по некоторому закону единственное значение из отрезка , для которого . Тогда на отрезке можно определить функцию , ставя в соответствие каждому из отрезка , то значение из отрезка , для которого . Функция называется обратной для функции . Функция называется неубывающей (невозрастающей) на множестве , если для любых и из этого множества, удовлетворяющих условию , справедливо неравенство ( ). Неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными.Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве , если для любых и из этого множества, удовлетворяющих условию , справедливо неравенство ( ). Убывающие и возрастающие функции называются строго монотонными. Пусть на отрезке задана возрастающая (убывающая) непрерывная функция , и пусть и . Тогда эта функция имеет на отрезке ( ) возрастающую (убывающую) непрерывную обратную функцию . Все элементарные функции непрерывны в своей области определения

19.Понятие дифференцируемости и т.П.

Функция называется дифференцируемой в точке , если приращение этой функции в точке , соответствующее приращению аргумента , может быть представлено в виде , где — некоторое число, не зависящее от , — бесконечно малая функция при .Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

20.Связь

Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Так как функция дифференцируема в точке , то ее приращение в точке можно представить в виде .Отсюда следует, что .

Пусть . Тогда при и , .Последнее равенство означает, что функция непрерывна в точке .

22.Теорема о производной обратной функции

Пусть функция непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки и пусть в этой точке существует конечная производная . Тогда обратная функция имеет производную в точке , равную .

24.Логарифмическая производная

Пусть функция положительна и дифференцируема в данной точке . Тогда в этой точке существует . Рассматривая как сложную функцию аргумента , можно вычислить производную этой функции, принимая за промежуточный аргумент. Получим .Эта производная называется логарифмической производной функции в данной точке .Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению переменной при . Из определения эластичности,обозначаемой ,следует,что то есть эластичность равна произведению независимой переменной на логарифмическую производную функции .

25.Таблица производных

1. , где — постоянная;2. , ;3. , ;4. ;5. , , ;6. ;7. ;8. ;9. ;10. ;11. ;12. ;

13. ;14. .