11. Неравество и предельные значения

При определении предельного значения тригонометрических функций в точке, важную роль играет неравенство ,для любого из интервала справедливо.

Предельные значения тригонометрических функций

Докажем, что предельное значение функции в точке равно . Рассмотрим функцию . Заметим, что .Здесь мы воспользовались неравенствами и . Поскольку не меньше 0 и не больше , а , то является бесконечно малой функцией. Следовательно, , а . Аналогично можно доказать, что . Действительно, из неравенства следует, что .

12.Первый замечательный предел

Предельное значение функции в точке существует и равно единице: . (2) Равенство (2) называют первым замечательным пределом.

Следствия из первого замечательного предела

1) .2) 3)

13.Второй замечательный предел

Предельное значение функции при существует и равно : .Второй замечательный предел также записывают в виде .

Следствия из второго замечательного предела

1) .2) .3) .4) .

14.Понятие непрерывности функции

Функция называется непрерывной в точке , если предельное значение этой функции в точке существует и равно частному значению , то есть, если . (1)Поскольку , то равенство (1) можно представить в виде .

Следовательно, для непрерывной функции знак предела можно вносить под знак функции.

Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции.

Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества. Классификация точек разрыва :Устранимый разрыв. Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если предельное значение функции в этой точке существует, но либо функция не определена в этой точке, либо ее предельное значение не равно частному значению .Разрыв первого рода. Точка называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу правое и левое предельные значения: . Разрыв второго рода.

15.Арифметические операции над непрерывными функциями

Пусть заданные на одном и том же множестве функции и непрерывны в точке . Тогда функции , , и также непрерывны в точке (частное при условии ).

16.Сложная функция и ее непрерывность

Последовательное применение двух или нескольких функций называется суперпозицией этих функций. Функции, образованные в результате суперпозиции двух или нескольких функций будем называть сложными функциями. Например, сложная функция образована в результате суперпозиции функций и .Достаточно определить сложную функцию, образованную в результате суперпозиции двух функций. Пусть функция определена на некотором множестве и пусть — множество значений этой функции. Если на указанном множестве определена другая функция , то говорят, что на множестве задана сложная функция переменной . .Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , соответствующей точке , то функция непрерывна в точке .