§ 3. Степени вершин графа

Пусть задан граф G = (V, Е). Степенью (локальной степенью) вершины а называется количество ининцидентных ему ребер и обозначается deg(а). При подсчете степени вершины петля учитывается два раза.

Подсчитаем степени вершин графа, изображенного на рисунке: d(1) = 3, d(2) = 4, d(3) = 2, d(4) = 2, d(5) = 1, d(6) = 2, d(7) = 4.

Граф называется однородным, если все его вершины имеют одинаковую степень.

Существут 5 правильных многогранников: тетраэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Каждая вершина многогранника представляется как вершина графа, а ребра многогранника – как ребра графа. При таком представлении графы правильных многоранников являются однородными.

Теорема 1. Пусть задан граф G = (V, Е) с p вершинами и q ребрами. Сумма степеней вершин графа равна удвоенному числу ребер:

Теорема 2. Число вершин нечетной степени в любом графе четно.

Части графа, операции над графами

Частью графа граф G = (V, Е) называется граф граф G₁ = (V₁, Е₁), для которого V₁  V и E₁  E.

Граф G₁ = (V₁, Е₁) называется подграфом графа G = (V, Е), если V₁  V и любое ребро графа G, соединяющие ребра из V₁, принадлежит E₁.

Декартовым (прямым) произведение графов G₁ = (V₁, E₁) и G₂ = (V₂, E₂) является граф G = (V, E), определенный следующим образом: V = V₁V₂ и для каждой пары (a, b), a  V₁, b  V₂, G(a, b) = G₁(a)G₂(b).

₂

Прямая сумма G = G₁ + G₂ графов G₁ = (V₁, E₁) и G₂ = (V₂, E₂) является граф G = (V, E), определенный следующим образом: V = V₁V₂ и для каждой пары (a, b), a  V₁, b  V₂, G(a, b) = [G₁(a){b}]  [{a} G₁(b)]. Так что G(1, a) = [G₁(1) {a}]  [{1}G₂(a)] = [{2} {b, c}] = {(2, b), (2, c)}, G(1, b) = [G₁(1) {b}]  [{1}G₂(b)] = [{2} {a, c}] = {(2, a), (2, c)}, G(1, c) = [G₁(1) {c}]  [{1}G₂(c)] = [{2} {a, b}] = {(2, a), (2, b)}, G(2, a) = [G₁(2) {a}]  [{2}G₂(a)] = [{1, 3} {b, c}] = {(1, b), (1, c), (3, b), (3, c)},

§ 4. Маршруты, цепи, циклы

Маршрутом (путем) в графе G = (V, E) называется последовательность вершин v₁, v₂,…, v_k, в которой две последовательные вершины (v_i–1, v_i) является редбром графа G. В таком случае вершина v₁ называется началом маршрута, вершина v_k – концом маршрута, а все остальные вершины – внутренними вершинами маршрута. Длиной маршрута называется число его ребер.

Маршрут называется замкнутым если его начальная вершина совпадает с конечной.

Маршрут называется цепью, если все его ребра различны. Цепь газывается простой, если его вершины не повторяются.

Замкнуая цепь называется циклом. Цикл называется простым, если его вершины, кроме начальной и конечной, не повторяются.

Связность

Для ориентированного графа можно определить два типа маршрутов. Неориентированный маршрут (или просто маршрут) – это чередующаяся последовательность вершин и ребер графа, такая, что для каждого выполняется одно из двух: или . Маршрут называется ориентированным (или ормаршрутом), если для каждого . Таким образом, при движении вдоль маршрута в орграфе ребра могут проходиться как в направлении ориентации, так и в обратном направлении, а при движении вдоль ормаршрута - только в направлении ориентации. Это различие очевидным образом распространяется на пути и циклы, так что в орграфе можно рассматривать пути и орпути, циклы и орциклы. Будем говорить, что маршрут соединяет вершины и , а ормаршрут ведет из в .

Соответственно двум типам маршрутов определяются и два типа связности орграфов. Орграф называется связным (или слабо связным), если для каждой пары вершин в нем имеется соединяющий их маршрут; он называется сильно связным, если для каждой упорядоченной пары вершин (a, b) в нем имеется ормаршрут, ведущий из a в b. Максимальные по включению подмножества вершин орграфа, порождающие сильно связные подграфы, называются его областями сильной связности, а порождаемые ими подграфы - компонентами сильной связности. Очевидно, разные области сильной связности не могут иметь общих вершин, так что множество вершин каждого орграфа разбивается на области сильной связности.

Эйлеровы графы

Эйлеровым путем в графе называется путь, содержащий все ребра графа. Эйлеровым циклом в графе называется цикл, содержащий все ребра графа.

Связный граф G называется эйлеровым, если существует замкнутая цепь, проходящая через каждое его ребро. Такая цепь называется эйлеровой цепью. Отметим, что в этом определении требуется, чтобы каждое ребро проходилось только один раз. Если снять ограничение на замкнутость цепи, то граф называется полуэйлеровым, при этом каждый эйлеров граф будет полуэйлеровым.

Примеры.

Заметим, что предположение о связности графа G введено только ради удобства, так как оно позволяет не рассматривать тривиальный случай графа, содержащего несколько изолированных вершин.

Принято всякую замкнутую линию, если ее можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги, проходя при этом каждый участок в точности один раз, называть уникурсальной. Рисунок графа, обладающего эйлеровым путем или эйлеровым циклом, является уникурсальной линией.

Теорема 1. Если граф G обладает эйлеровым циклом, то он является связным, а все его вершины — четными.

Теорема 2. Если граф G связный и все его вершины четные, то он обладает эйлеровым циклом.

Теорема 4.3. Если граф G обладает эйлеровым путем с концами v_a и v_b (v_a не совпадает с v_b), то граф G является связным, и v_a и v_b — единственные нечетные его вершины.

Теорема 4.4. Если граф G связный и v_a и v_b единственные нечетные вершины его, то граф G обладает эйлеровым путем с концами v_a и v_b.

Теорема 4.5. Если связный граф G имеет 2k нечетных вершин, то найдется семейство из k путей, которые в совокупности содержат все ребра графа в точности по одному разу.