Перестановки с повторениями, мультимножества

Пусть даны n элементов A = {a₁,…, a_n}. Строим последовательности из этого множества элементов. Первый элемент a₁ повторим k₁ раз, второй элемент a₂ повторим k₂ раз,..., n-ый элемент a_n повторим k_n раз: k₁ + k₂ +…+ k_n = m. Такие последовательности называются перестановками с повторениями из n элементов типа (k₁,…, k_n) или мультимножествами типа (k₁,…, k_n).

Число перестановок с повторениями типа повторениями из n элементов типа (k₁,…, k_n) обозначается P_n(k₁,…, k_n) и называется также полиномиальным коэффициентом.

Теорема 1. P_n(k₁,…, k_n) = .

Если бы все элементы были бы различными, то получилось бы m! перестановок. Элементы a₁ можно переставить k₁! способами, элементы a₂ – k₂! способами,...., элементы a_n – k_n! способами, но число перестановок с повторениями от этого не изменится. Значит, число перестановок с повторениями меньше числа перестановок без повторения в k₁!k₂!...k_n! раз. Поэтому число перестановок с повторениями P_m(k₁,…, k_n) = .

Графы. Основные понятия графов.

Граф G определяется двумя множествами: множеством вершин V, множеством ребер E и отношением инцидентности между вершинами и ребрами и обозначается G = (V, E).

Если ребро x инцидентно вершинам а и b, то это обозначают x = (а, b). В этом случае также говорят, что вершины а и b инцидентны ребру x, а также, что ребро x соединяет вершины а и b, или, что вершины а и b являются концами ребра x.

На диаграмме обычно вершины графа обозначаютс точками или кружочками, а ребра отрезками или дугами.

Здесь ребро х₁ соединяет вершины a₁ и a₂, а ребро х₂ соединяет вершину a₂ с собой х₂ = (a_2, a₂). Такое ребро называется петлей. Граф, допускающй петли, называется псевдографом.

Вершины a₅ и a₆ соединены тремя ребрами х_4, х_5, х₈. Такие ребра называются кратными. Граф без петель, но допускающий кратные ребра, называется мультиграфом. Граф без петель и кратных дуг называют простым графом. Термин граф обычно применяют в широком смысле, подразумевая под этим и псевдограф, и мультиграф, и простой граф. Так как в большинстве случаев мы будем рассматривать простые графы, то под словом граф, мы в дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем подразумевать простой граф.

В некоторых случаях ребру графа задается ориентация, одна из вершин a считается началом, а другая вершина b – концом ребра. В таком случае ребра (а, b) и (b, а) считаются разными.

Граф, которго все ребра ориентированы, называется ориентированным графом или орграфом.

Нуль-графом называется граф, не имеющий ребер.

Полным графом называется граф, в котором любые две вершины соединены ребром. Полный граф с n вершинами обозначается К_n

Способы задания графа

Граф можно задать несколькими способами.

а) Списками вершин и ребер. Например, V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, .

У этого граф имеется 7 вершин и 9 ребер. В компьютерных программах список вершин описывается массивом V[1. .7], а список ребер – двумя массивами L [1. .9]: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4 и R [1. .9]: 2, 3, 6, 5, 7, 4, 7, 6, 7.

б) Графически граф можно представить в виде диаграммы. Вершины изображаются в виде точек или кружочков, а ребра отрезками или дугами.

в) можно описать с помощью матрицы смежности. Матрица смежности имеет размер 77, каждая строка и каждый столбец матрицы соответствует определенной вершине. На месте (i, j) матрицы пишется 1, если имеется ребро (i, j), в противном случае на место (i, j) пишется 0.

г) Матрица инцидентности имеет размер pq = 79. Строки матрицы соответствуют вершинами, а столбцы – ребрам. Если вершина i инцидентна ребру j, то на месте (i, j) матрицы ставим 1, в противном случае – 0.

д) Списки инциденций состоят из p = 7 списков. Каждый из списков состоит из номера вершины и из номеров соседних вершин. Для нашего примера списки инцидентности дазаются так:

1 2 3 6

2 1 5 7

3 1 4 7

4 3 6 7

5 2

6 1 4

7 2 3 4