Отношение порядка

Отношением квазипорядка на множестве X называется отношение, обладающее свойствами рефлексивности и транзитивности. Например, отношение x  y на множестве вещественных чисел есть отношение квазипорядка. Поэтому данное отношение часто обозначается символом .

Отношение квазипорядка, обладающее также свойством тождественности, называется отношением частичного порядка. Оно должно, таким образом, удовлетворять аксиомам отношения « »:

 x: x  x – рефлексивность;

 x, y, z: (x  y и y  z)  x  z – транзитивность;

 x, y: (x  y и y  x)  x = y – тождественность.

Отношение, обладающее свойствами транзитивности и антисимметричности, называется отношением строгого порядка. Это отношение часто обозначают символом >. Оно должно удовлетворять следующим аксиомам:

 x: x > x невозможно – антирефлексивность;

 x, y, z: (x  y и y  z)  x  z – транзитивность;

 x, y: x > y  y > x – невозможно – антисимметричность.

Отношением линейного порядка называется отношение порядка, обладающее дополнительно еще и свойством линейности. Оно удовлетворяет аксиомам:

 x: x  x – рефлексивность;

 x, y, z: (x  y и y  z)  x  z – транзитивность;

 x, y: (x  y и y  x)  x = y – тождественность.

 x, y: x  y или y  x – линейность.

Нерефлексивным отношением полного порядка называется отношение полного порядка, не удовлетворяющее требованию рефлексивности ни на одном из элементов множества. Оно обладает, следовательно, свойствами транзитивности, антисимметричности и полноты.

Множество, в котором определено отношение порядка, называется упорядоченным множеством. Если этот порядок линейный, то множество называется линейно упорядоченным, а если порядок частичный, то множество называется частично упорядоченным.

Отображения и функции

Пусть X и Y – два непустых множества. Закон f, согласно которому любому элементу x  X ставится в соответствие элемент y  Y, называется однозначным отображением X в Y, или функцией, определенной на X и принимающей значения на Y.

Используются следующие формы записи:

f: X  Y или y = f(x), x  X, y  Y.

В случае однозначного отображения элемент y = f(x) называется образом элемента x, а элемент x – прообразом элемента y.

Возможна ситуация, когда каждому x  X отображение f ставит в соответствие некоторое подмножество f(x)  Y. Тогда образом элемента x будет подмножество f(x), а отображение f будет называться многозначным отображением. Отображение является, таким образом, всюду определенным соответствием, то есть, частным случаем соответствия и определяется тройкой множеств (X, Y, f).

Определение. Пусть X и Y – множества. Бинарное отношение f  X  Y называется функцией, если из (x, y), (x, z)  f следует y = z.

Другими словами, f – функция, если каждый элемент х X связан отношением f только с одним элементом у Y. Так что

f – функция  из (x, y), (x, z)  f следует y = z.

Если с каждым элементом х связан только один элемент у, то пишут y = f(x). Тогда функцию можно записать так f = {(х, у) | y = f(x)}.

Таким образом, функция есть соответствие между элементами множеств, лпроеделяемое некоторым отношением. На математическом языке это можно записать так:

f – функция  (f(x) = y, f(x) = z)  y = z).

Отображение, определяемое отношением у = f(x), обозначают f: X  Y или X Y. На языке элементов это обозначают f: х у, это то же самое, что и обозначение f(x) = y. В этом случае элемент у называется образом элемента х, а элемент х – прообразом элемента у.

Определение. Если завданы отображения f: X → Y и g : С → D бейнелеулері беріліп, A  C, B  D және х  A: f (x) = g (x) орындалса, онда g бейнелеуін f бейнелеуінің жалғасы деп атайды, ал f бейнелеуін g бейнелеуінің тарылуы деп атайды.

Определение. Если для множеств X, Y, Z задано отношение f: XY  Z, то говорят, что задана функция от двух переменных. В этом случае каждой паре (x, y) ставится в соответствеи только один элемент z  Z: f(x, y) = z или (x, y, z)  f. Осылай көп aйнымалылы функциямен анықталатын бейнелеу туралы айтуға болады. Ол мына түрде болады: f: A₁A₂…A_n  B, f(x₁, x₂,…, x_n) = y.