Понятие множества

Под множеством понимают совокупность, собрание, коллекцию и т.п. вполне определенных различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое.

Отдельные объекты, из которых состоит множество, называют его элементами.

Множества обозначаются прописными буквами A, S, X, ..., а элементы множества обозначаются строчными буквами a, s, x, ... . Множество X, элементами ко­торого являются x₁, x₂, x₃, обозначается X = {x₁, x₂, x₃}. В этом случае множество задается способом перечисления всех его элементов. Этот способ обычно используется при рассмотрении конечных множеств, содержащих небольшое число элементов.

Для указания того, что элемент x принадлежит множеству X, используется запись x  X. Запись x  X означает, что элемент x не принадлежит множеству X.

Еще один пример задания множества перечислением элементов:

А = –3 , –2 , 0, 4 , 5 , 6 . Это множество состоит из 6 элементов.

Наиболее часто встречающиеся числовые множества обозначаются так:

N = 1, 2,…, n, ...  – множество натуральных чисел;

Z = …,–n, …, –2, –1, 0, 1, 2,… ,n , … – множество целых чисел;

R ­– множество вещественных чисел.

Не всегда можно перечислить все элементы множества. В таких случаях для задания множества используется другой способ задания множества – описательный. Он состоит в том, что указывается характеристическое свойство, которым обладают все элементы множества.

Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов, и бесконечным, если число его элементов бесконечно.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается , например: X = {x  Z | x² – x + 1 = 0} = , где Z – множество целых чисел. Пустое множество считается конечным множествам.

Два множества X и Y равны в том и только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов, то есть, X = Y, если x  X, то x  Y и если y  Y, то y  X.

Например, множества А = 1, 3, 4 и В = 3, 4, 1 равны.

Понятие подмножества

Множество X называется подмножеством множества Y, если любой элемент множества X принадлежит множеству Y. Обозначение: X  Y.

Например, а) Если А = 0, 2, 4, 6, 8, В = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то А  В.

b) Если А = x | –3 < x < 3 , В = x | –3 < x < 5, то А  В.

Последовательность из n элементов множества называется n-кортежем или кортежом длины n.

В n-кортеже каждый элемент занимает определенное место, тогда как в записи множества порядок расположения элементов роли не играет.

Для сокращения записи в теории множеств используются некоторые логические символы. Это кванторы общности  и существования , а также символы следствия (импликации)  и логической эквивалентности . Смысл этих обозначений следующий:

 – «любой», «каждый», «для всех»;

 – «существует», «найдется», «хотя бы один»;

 – «влечет», «имеет следствием»;

 – «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно».

Для любых множеств А, B, C справедливы следующие утверждения:

a) х    х  А.

b) А  A для любого множества A.

c) А  В и B  C  А  C.

1. Операции над множеством;

Над множествами можно производить действия, которые во многом напоминают действия сложения и умножения в элементарной алгебре. Графически операции над множествами изображаются с помощью диаграмм Эйлера-Венна, в которых произвольное множество X изображается множеством точек на плоскости, ограниченным некоторой замкнутой кривой.

Объединением множеств X и Y называют множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств X, Y (на рисунке рис.1.1 пересечение этих множеств закрашено). Объединение двух множеств обозначается X  Y.

Объединение нескольких множеств X_i (i = 1, 2, ..., n) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств X_i. Соответствующее обозначение: .

Пересечением множеств X и Y называют множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству X, так и множеству Y (на рис.1.2 пересечение этих множеств закрашено). Обозначение: X  Y.

Множества X и Y называют непересекающимися, если они не имеют общих элементов, то есть, если X  Y = .

Пересечением нескольких множеств X_i (i = 1, 2,..., n) называется множество элементов, принадлежащих всем X_i. Оно обозначается как .

Разностью множеств X и Y называют множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат X и не принадлежат Y (рис.1.3). Разность множеств обозначается через X \ Y (на рис.1.3 разность X \ Y закрашена).

Теорема 3.1. Для любых множеств А и В следующие три условия эквивалентны: (а) А  В; (b) А  В = В; (с) А  В = А.

Теорема 3.2. Для любых множеств А, В, С выполняются следующие равенства:

1) А  А = А, А  А  А – законы идемпотентности.

2) А  В  В  А, А  В  В  А – законы коммутативности.

3) А  (В  С)  (А  В)  С, А  (В  С)  А  (В  С) – законы ассоциативности.

4) А  (В  С)  (А  В)  (А  С), А  (В  С)  (А  В)  (А  С) – законы дистрибутивности.

Универсальное множество

Часто все рассматриваемые множества являются подмножествами одного и того же множества, называемого универсальным множеством. Универсальное множество обзначается I. Тогда для любого множества X справедливо соотношение X  I = X, так как любое множество X полностью содержится во множестве I. Универсальное множество изображается графически в виде множества точек прямоугольника. Отдельные области внутри этого прямоугольника изображают различные подмножества универсального множества.

Множество = I \ X называется дополнением множества X (до универсального множества I).

Теорема 4.1. Для любого универсального множества I и его подмножеств X и Y выполняются следующие равенства:

1. X  I  U, X  I  X.

2. X   U, X   .

3.  X – закон инволюции.

4. .

5. = , – законы де Моргана.

Декартово произведение множеств

Для элементов x и y упорядоченная пара обозначается (x, y). Элемент x называется первой, а элемент y – второй компонентой пары (x, y). Отметим, что в упорядоченной паре существенен порядок записи компонент: не всегда выполняется равенство (x, y) = (y, x).

Две упорядоченные пары считаются равными, если совпадают соответствующие компоненты, то есть, равенство (х, у) = (z, t) выполняется тогда и только тогда, когда x = z, y = t.

Множество упорядоченных пар (x, y), образованных элементами множеств X и Y, называется декартовым, или прямым произведением множеств X и Y и обозначается X  Y.

Таким образом, элементами декартова произведения являются двухэлементные строчки вида (x, y):

X  Y = {(x, y)| x  X, y  Y}.

Декартовым произведением нескольких множеств X₁, X₂,..., X_n называют множество, обозначаемое X₁X₂...X_n и состоящее из всех тех и только тех n-кортежей, первая компонента которых принадлежит X₁, вторая  X₂ и так далее:

X₁X₂…X_n = {(x₁, x₂,…, x_n)x₁  X₁, x₂  X₂,… , x_n  X_n}.

Если X₁ = X₂ = … = X_n = X, то обозначается XX…X = Xⁿ и речь идет о декартовой степени Xⁿ множества X.