Методы анализа, основанные на законах Ома и законах Кирхгофа
Закон Ома устанавливает зависимость между напряжением и током на пассивной ветви, а также позволяет определить ток по известным потенциалам на концах ветви с источником напряжения.
Законы Кирхгофа применяют для нахождения токов в ветвях линейных и нелинейных схем при любом законе изменения во времени токов и напряжений.
Метод эквивалентных преобразований. При эквивалентных преобразований отдельные участки электрической цепи заменяются более простыми. Эквивалентность преобразования состоит в том, что токи и напряжения в непреобразованной части схемы не изменяются.
Последовательное упрощение схемы продолжается до ее преобразования в одноконтурную схему, после чего для расчета используется закон Ома.
Метод эквивалентных преобразований используется для нахождения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора.
При помощи метода эквивалентных преобразований облегчают расчет расчет нелинейной цепи, упростив линейную часть цепи эквивалентными преобразованиями.
Метод наложения
Метод наложения основан на свойстве линейности электрических цепей. Метод наложениясправедлив только для линейных цепей. Метод наложения применяется для определения токов в ветвях схемы с несколькими источниками.
Алгоритм метода наложения:
1) выбирают положительные направления токов в ветвях цепи;
2) находят частичные токи в ветвях, вызванные каждым источником по отдельности (схему рассчитывают столько раз, сколько источников действует в схеме);
3) токи в ветвях по методу наложения находят как алгебраическую сумму частичных токов (знакчастичного тока при суммировании определяется по положительному направлению тока ветви).
Решение задач методом наложения
В электрической цепи рис. с тремя источниками энергии определить все токи в ветвях, воспользовавшись методом наложения.
Рис.
Решение
1. Выполним расчет цепи при воздействии источника ЭДС E1, полагая E3 = 0, J = 0. Источники считаем идеальными, поэтому внутренние сопротивления ЭДС равны нулю, а источника тока – бесконечности. С учетом этого изобразим расчетную схему (рис. ).
Рис.
Определение токов в полученной схеме будем вести, пользуясь методом эквивалентных преобразований:
R ′ Э = R 5 + R 2 ⋅ ( R 3 + R 4 ) R 2 + ( R 3 + R 4 ) =15+ 30⋅ ( 10+5 ) 30+ ( 10+5 ) =25 Ом; I ′ 1 = E 1 R ′ Э = 15025 =6 A; I ′ 5 = I ′ 1 =6 A; I ′ 2 = I ′ 1 ⋅ R 3 + R 4 R 2 + ( R 3 + R 4 ) =6⋅ 10+5 30+ ( 10+5 ) =6 A; I ′ 3 = I ′ 1 ⋅ R2 R 2 + ( R 3 + R 4 ) =6⋅ 30 30+ ( 10+5 ) =4 A; I ′ 3 = I ′ 4 =4 A.
2. Расчет электрической цепи при воздействии ЭДС источника Е3 выполним, полагая Е1 = 0, J = 0(рис. 1.2.3).
В соответствии с рис. 1.2.3 имеем:
R ″ Э = R 3 + R 4 + R 2 ⋅ R 5 R 2 + R 5 =10+5+ 30⋅15 30+15 =25 Ом; I ″ 3 = E 3 R ″ Э = 50 25 =2 A; I ″ 4 = I ″3 =2 A; I ″ 2 = I ″ 4 ⋅ R 5 R 2 + R 5 =2⋅ 15 15+30 =0,66 A; I ″ 5 = I ″ 4 ⋅ R 2 R 2 + R 5 =2⋅ 30 15+30 =1,33 A; I ″ 1 = I ″ 5 =1,33 A.
3. Расчет электрической цепи при действии источника тока выполним, полагая E1 = 0, Е2 = 0 (рис. ).
Рис.
В соответствии с рис. имеем:
R ''' Э = R 4 + R 2 ⋅ R 5 R 2 + R 5 =5+ 30⋅15 30+15 =15 Ом.
Находим токи в параллельных ветвях:
I ''' 3 =J⋅ R ''' Э R ''' Э + R 3 =15⋅ 15 15+10 =9 A; I ''' 4 =J⋅ R 3 R ''' Э + R 3 =15⋅ 10 15+10 =6 A; I ''' 2 = I ''' 4 ⋅ R 5 R2 + R 5 =6⋅ 15 15+30 =2 A; I ''' 5 = I ''' 4 ⋅ R 2 R 2 + R 5 =6⋅ 30 15+30 =4 A.
Ток I ''' рассчитываем по первому закону Кирхгофа:
I ''' 1 + I ''' 5 −J=0; I ''' 1 =J− I ''' 5 =15−4=11 A.
4. В соответствии с принятыми направлениями токов в исходной схеме определим их значения по методу наложения как алгебраическую сумму частичных токов всех промежуточных расчетных схем:
I 1 = I ′ 1 + I ″ 1 − I ''' 1 =6+1,33−11=−3,67 A; I 2 = I ′ 2 − I ″ 2 − I ''' 2 =2−0,66−2=−0,66 A; I 3 =− I ′ 3 − I ″ 3+ I ''' 3 =−4−2+9=3 A; I 4 = I ′ 4 + I ″ 4 + I ''' 4 =4+2+6=12 A; I 5 = I ′ 5 + I ″ 5 + I ''' 5 =6+1,33+4=11,33 A.
Правильность решения задачи проверяем по первому закону Кирхгофа:
−J+ I 3 + I 4 =0; −15+3+12=0; − I 2 − I 4 + I 5 =0; − ( −0,66 )−12+11,33=0.
Токи I1 и I2 получились отрицательными, т.е. их истинное направление в схеме противоположно принятому положительному направлению.
Метод контурных токов
В методе контурных токов за основные неизвестные величины принимают контурные токи, которые замыкаются только по независимым контурам (главным контурам). Контурные токи находят, решая систему уравнений, составленную по второму закону Кирхгофа для каждого контура. По найденным контурным токам определяют токи ветвей схемы.
Алгоритмом метода контурных токов:
1. Задаются направлением токов ветвей и обозначают их на схеме.
2. Определяют независимые контуры и их нумеруют. При наличии в схеме источников токанезависимые контуры, для которых составляются уравнения метода контурных токов, можно определить, если мысленно удалить источники тока.
3. Выбирают направление контурных токов (целесообразно в одну сторону) и составляют уравнения по методу контурных токов, обходя каждый контур в направлении его контурного тока. Контурный ток, проходящий через источник тока, известен и равен току источника тока(через источник тока проходит только один контурный ток!).
4. Полученную систему алгебраических уравнений решают относительно неизвестных контурных токов.
5. Искомые токи по методу контурных токов находят как алгебраическую сумму контурных токов, проходящих по данной ветви. Токи в ветвях связи равны контурным токам.
Решение задач методом контурных токов
Определить токи в ветвях схемы рис. методом контурных токов. Правильность решения проверить по балансу мощностей.
Решение
1. В соответствии с алгоритмом, зададимся направлением токов ветвей и обозначим их на схеме рис.
2. Определяем независимые контура и выбираем направления контурных токов Iк1, Iк2, Iк3.
3. Поскольку в схеме имеется ветвь, содержащая источник тока J, контурный ток Iк3 = J, а для контурных токов Iк1 и Iк2 запишем систему уравнений метода контурных токов:
{ I к1 ⋅ ( R 3 + R 6 )− I к2 ⋅ R 6 −J⋅ R 3 =− E 1 − E 6 I к2 ⋅ ( R 4 + R 5 + R 6 )− I к1 ⋅ R 6 −J⋅ R 4 = E 6
или
{ I к1 ⋅ ( R 3 + R 6 )− I к2 ⋅ R 6 =− E 1 − E 6 +J⋅ R 3 − I к1 ⋅ R 6 + I к2 ⋅ ( R 4 + R 5 + R 6 )= E 6+J⋅ R 4
Подставив значения сопротивлений, получаем численную систему уравнений метода контурных токов с двумя неизвестными контурными токами:
{ 25 I к1 −5 I к2 =−5 −5 I к1 +14 I к2 =40
откуда
I к1 =0,4 A; I к2 =3 A.
4. Определяем токи в ветвях схемы по методу контурных токов:
I 1 = I к1 =0,4 A; I 5 =− I к2 =−3 A; I 6 = I к2 − I к1 =3−0,4=2,6 A.
Хотя все токи в ветвях можно определить методом контурных токов (I3 = Iк3 – Iк1; I4 = Iк3 – Iк2), токи I3 и I4 определим по первому закону Кирхгофа. Составим уравнения по первому закону Кирхгофа:
для узла a:
− I 5 −J+ I 4 =0,
откуда
I 4 = I 5 +J= ( −3 )+2=−1 A;
для узла b:
− I 1 − I 3 +J=0,
откуда
I 3 =J− I 1 =2−0,4=1,6 A.
5. Правильность решения проверяем по балансу мощностей. Предварительно находим напряжение на зажимах источника тока:
U ad = φ a − φ d =J⋅ R 2 + I 3 ⋅ R 3 + I 4 ⋅ R 4 − E 2 = =2⋅10+1,6⋅20+ ( −1 )⋅5−10=37 B.
Тогда
E 2 ⋅J+ U ad ⋅J+ E 1 ⋅ ( − I 1 )+ E 6 ⋅ I 6 = J 2 ⋅ R 2 + I 3 2 ⋅ R 3 + I 4 2 ⋅ R 4 + I 5 2 ⋅ R 5 + I 6 2 ⋅ R 6 ;10⋅2+37⋅2+15⋅ ( −0,4 )+30⋅2,6= 2 2 ⋅10+ 1,6 2 ⋅20+ ( −1 ) 2 ⋅5+ ( −3 ) 2 ⋅4+ 2,6 2 ⋅5; 166 Вт=166 Вт.
1.4 Метод узловых потенциалов. Метод узлового напряжения (метод двух узлов)
В методе узловых потенциалов за вспомогательные расчетные величины принимают потенциалы узлов схемы. При этом потенциалом одного из узлов задаются, обычно считая его равным нулю (заземляют). Этот узел называют опорным узлом. Затем для каждого узла схемы, кроме опорного узла, составляют систему уравнений методом узловых потенциалов. По найденным потенциалам узлов находят токи ветвей по обобщенному закону Ома (закону Ома для ветви с ЭДС).
Отметим, что метод узловых потенциалов без предварительного преобразования схемы не применим к схемам с взаимной индукцией.
Для схем, содержащих несколько ветвей только с идеальными источниками ЭДС (без пассивных элементов), не имеющих общего узла нужно применять особые способы составления системы уравнений метода узловых потенциалов.
Для схем, содержащих несколько ветвей только с идеальными источниками ЭДС (без пассивных элементов), имеющих общий узел, этот общий узел принимают за опорный узел (заземляют). Тогда потенциалы узлов, соединенных этими идеальными источниками ЭДС без пассивных элементов с опорным узлом, равны ЭДС этих идеальных источников (+E, если идеальный источник ЭДС направлен от опорного узла и –E в противном случае).
Метод двух узлов является частным случаем метода узловых потенциалов. Он применяется для определения токов в ветвях схемы с двумя узлами и произвольным числом параллельных активных и пассивных ветвей.