"НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ ИНФОРМАТИКИ"

Реферат

На тему :"Закон Кергофа и методы расчета электрических цепей."

Автор: Донцова Надежда Александровна

Группа 213c

Преподаватель: Козулин Игорь Анатольевич

Новосибирск 2013г.

Законы Кирхгофа и Ома

Кирхгоф Георг Симон Ом

Введение

Мы рассмотрим первый и второй закон Кирхгофа,основы матречных методов расчёта электрических цепей метод контурных токов в матричной форме,методы расчёта электрических цепей при постоянных токах и напряжениях,методы анализаоснованные на законах Кирхгофа и Ома,метод наложения, метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод узлового напряжения, метод эквивалентного источника ЭДС.

В электротехнике применяются два способа описания электрических и магнитных явлений: теория поля и теория цепей.

Теория поля изучает электромагнитные явления в пространстве и времени с помощью понятий напряженностей и индукций электромагнитного поляи применяется при рассмотрении излучения, распределения зарядов, плотности токов, в СВЧ устройствах.

Теория цепей исходит из приближенной замены реального устройства идеализированной схемой замещения. Анализ устройства сводится к определению токов и напряжений на элементах цепи.

Источники электрической энергии – элементы, в которых неэлектрические виды энергии превращаются в электрическую энергию (гальванические, термоэлементы, фотоэлементы, генераторы и т.д.).

Нагрузки – элементы, в которых электрическая энергия превращается в другие виды энергии.

Электрической цепью называется совокупность соединенных друг с другом источников и нагрузок, по которым течет электрический ток. Изображение электрической цепи с помощью условных знаков называется электрической схемой.

Электрический ток – упорядоченное движение зарядов в проводящей среде. На схеме току приписывается направление в виде стрелки. В случае переменного тока выбирается условно-положительное направление для однозначности математического описания схем. Электрический ток равен скорости изменения заряда: .

Потенциал точки электростатического поля характеризуется работой по перемещению единичного заряда из этой точки в бесконечность . Разность потенциалов на концах элемента называется напряжением . Положительное направление напряжения совпадает с направлением тока, т.е. считается, что ток течет от большего потенциала к меньшему.

Зависимость называется вольтамперной характеристикой (ВАХ) элемента. Элементы, ВАХ которых линейны, называются линейными. Цепи, состоящие из линейных элементов, называются линейными. Если в цепи есть хотя бы один нелинейный элемент, то цепь нелинейная.

При перемещении заряда под действием приложенного напряжения затрачивается энергия . Полная энергия , где - мгновенная мощность.

Источник э.д.с. – активный элемент, напряжение на зажимах которого не зависит от протекающего тока. Направление стрелки указывает возрастание потенциала внутри источника за счет сторонних сил. Внутреннее сопротивление идеального источника э.д.с. равно нулю.

Источник тока – активный элемент, ток которого не зависит от приложенного напряжения. Направление стрелок указывает направление тока источника. Внутреннее сопротивление источника тока равно бесконечности.

К потребителям относятся резисторы , емкости и индуктивности .

Таблица 1

Обозначение	Связь между ними и

Законы Кирхгофа следуют из уравнений Максвелла. Ветвью называется последовательное соединение элементов, по которым протекает один и тот же ток. Узел – место соединения трех и более ветвей. Контур – замкнутый путь по ветвям цепи.

Первый закон Кирхгофа (баланс токов) следует из непрерывности токов. Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. Закон выражает тот факт, что заряды в узле не накапливаются. Подтекающие токи берутся со знаком плюс, вытекающие со знаком минус.

Второй закон Кирхгофа (баланс напряжений). Так как любая электрическая цепь является потенциальной, то алгебраическая сумма напряжений по замкнутому контуру равна алгебраической сумме э.д.с. этого контура. Напряжения и э.д.с., совпадающие с направлением обхода, берутся со знаком плюс, иначе – со знаком минус.

.

Общее число уравнений равно числу неизвестных токов. По первому закону составляется уравнение, где - число узлов. Остальные уравнения - по второму закону, причем ветви с источниками токов в контура не включаются, а в каждый новый контур должна войти хотя бы одна новая ветвь.

Пример 1.

Пример 2.

Если требуется определить напряжение между двумя любыми точками цепи, то его можно включить в контур, например, для определения напряжения на источнике тока в примере 1 составили уравнения для контура, помеченного пунктирной стрелкой:

, откуда можно определить .

Закон Ома для сложной ветви.

По второму закону Кирхгофа для контура имеем: , откуда . Если совпадает с направлением тока, то она берется со знаком плюс.

Закон сохранения энергии (баланс мощности) позволяет проверить правильность проведенных расчетов. Сумма мгновенных мощностей элементов цепи равна нулю: . Для примера 1: .

или

(баланс мощности).

Основы матричных методов расчета электрических цепей

Рассмотренные методы расчета электрических цепей – непосредственно по законам Кирхгофа, методы контурных токов и узловых потенциалов – позволяют принципиально рассчитать любую схему. Однако их применение без использования введенных ранее топологических матриц рационально для относительно простых схем. Использование матричных методов расчета позволяет формализовать процесс составления уравнений электромагнитного баланса цепи, а также упорядочить ввод данных в ЭВМ, что особенно существенно при расчете сложных разветвленных схем.

Переходя к матричным методам расчета цепей, запишем закон Ома в матричной форме.

Пусть имеем схему по рис. 1, где   - источник тока. В соответствии с рассмотренным нами ранее законом Ома для участка цепи с ЭДС для данной схемы можно записать:

.

(1)

 

Однако, для дальнейших выкладок будет удобнеепредставить ток  как сумму токов k-й ветви и источника тока, т.е.:

.

(2)

 

Подставив (2) в (1), получим:

.

(3)

 

Формула (3) представляет собой аналитическое выражение закона Ома для участка цепи с источниками ЭДС и тока (обобщенной ветви).

Соотношение (3) запишем для всех n ветвей схемы в виде матричного равенства

или

,

(4)

 

где Z – диагональная квадратная (размерностью n x n) матрица сопротивлений ветвей, все элементы которой (взаимную индуктивность не учитываем), за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Соотношение (4) представляет собой матричную запись закона Ома.

Если обе части равенства (4) умножить слева на контурную матрицу В и учесть второй закон Кирхгофа, согласно которому

,

(5)

 

то

,

(6)

 

то есть получили новую запись в матричной форме второго закона Кирхгофа.

 

Метод контурных токов в матричной форме

В соответствии с введенным ранее понятием матрицы главныхконтуровВ, записываемой для главных контуров, в качестве независимых переменных примем токи ветвей связи, которые и будут равны искомым контурным токам.

Уравнения с контурными токами получаются на основании второго закона Кирхгофа; их число равно числу независимых уравнений, составляемых для контуров, т.е. числу ветвей связи c=n-m+1. Выражение (6) запишем следующим образом:

.

(7)

 

В соответствии с методов контурных токов токи всех ветвей могут быть выражены как линейные комбинации контурных токов или в рассматриваемом случае токов ветвей связи. Если элементы j–го столбца матрицы В умножить соответствующим образом на контурные токи, то сумма таких произведений и будет выражением тока j–й ветви через контурные токи (через токи ветвей связи). Сказанное может быть записано в виде матричного соотношения

,

(8)

 

где   - столбцовая матрица контурных токов;   - транспонированная контурная матрица.

С учетом (8) соотношение (7) можно записать, как:

(9)

 

Полученное уравнение представляет собойконтурные уравнения в матричной форме. Если обозначить

,	(10)
.	(11)

 

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу контурных токов:

,

(12)

 

где   - матрица контурных сопротивлений;   - матрица контурных ЭДС.

В развернутой форме (12) можно записать, как:

,

(13)

 

то есть получили известный из метода контурных токов результат.

Рассмотрим пример составления контурных уравнений.

Пусть имеем схему по рис. 2. Данная схема имеет четыре узла (m=4)и шесть обобщенных ветвей (n=6).Число независимых контуров, равное числу ветвей связи,

c=n-m+1=6-4+1=3.

Граф схемы с выбранным деревом (ветви 1, 2, 3) имеет вид по рис. 3.

Запишем матрицу контуров, которая будет являться матрицей главных контуров, поскольку каждая ветвь связи входит только в один контур. Принимая за направление обхода контуров направления ветвей связи, получим:

В

 

.Диагональная матрица сопротивлений ветвей

Z

 

 

Матрица контурных сопротивлений

Zk=BZBT

 

.

Матрицы ЭДС и токов источников

 

Тогда матрица контурных ЭДС

 

 .

Матрица контурных токов

.

Таким образом, окончательно получаем:

 ,

где   ;   ;   ;   ;   ;   ;   ;   ;   .

Анализ результатов показывает, что полученные три уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу контурных токов.