39)Эйлеровы интегралы. Гамма-функция. Свойства.

Г(P)= ^-xx^p-1dx, p>0.

Здесь два типа особенностей

1)Интегрирование по полупеременной 0≤X<+~

2)При P<1, точка X=0- особая точка для подинтегр функ-ии

Г(P)= ^-xx^p-1dx+ ^-xx^p-1dx

Г₁(P) Г₂(P)

Т.к |e^-xx^p-1|≤x^p-1при ^p-1dx = | =1/p => Г₁(P) – сх-ся при P>1

По признаку сравнения

Г₂(P) так же сх ся при P>0

Итак 1) Г(P) определена для люб P>0, 2)Г(P)- непр ф-ия при люб P>0

Для этого достаточно установить равномерн сх-ть интегралала

Относит – но P

Для фикс P₀,P₁, p< P₀< P₁ , 0< P₀≤P≤P₁

При X>0 справедливо нер-во; e^-xx^p-1≤ e^-x[x^p0-1+ x^p1-1]

Т.к ^–x(x^p0-1+ x^p1-1)dx сх-ся => в силу признака вейштрасса следует

Равн сх-ть интегралал

ПриP>0=>Г(P) – непр ф-ия при P>0

Докажем сущь производной ф-ии Г(P), дифференцируем Г(P) по

Параметру P под знаком интеграла и обозначим Г’(P)= ^p–1e^-xlnxdx

Получены интеграл равномерно сх- ся по параметру P на любом

0<P0≤P≤P1 т.к справедливо нер – во |x^p-1e^-xlnx|<e^-x|lnx|(x^p0-1+x^p1-1)=>

Из сх – ти ^-x|lnx|(x^p0-1+x^p1-1)dx следует равн сх- ть Г’(P) => диф- ие

по параметру возможно т.е Г’(P) - производная Г(P).

40) Связь между эйлеровыми интегралами.

B(p,q)= ^p-1(1-x)^q-1dx=|замена X=1/1+t,dx=-1/(1+t)²dt, 1-x=1-1/1+t=1/1+t|

= dt= dt, т.к выполняется св-во симметричности

B(p,q) = B(q,p) то B(P,q) = dt

Р.м Г(P) = ^-xx^p-1dx=|Замена x=ty, t>0,dx =t, t=const|= ^-tgt^py^p-1dy=

t^{p -tg}y^p-1dy=> Г(P)/t^p= ^-tyy^p-1dy

Заменим P на P+q и T на 1+q

Г(p+q)/(1+t) ^P+q= ^-(1+t)yy^P+q-1dy Умножим обе части на t^p-1

И проинтегрируем по t от 0 до бесконечн

t^p-1Г(P+q)/(1+t)^p+q= ^p-1e^-(1+t)Yy^p+q-1dy

(*)Г(P+q)B(P,q)= ^P+q-1t^p-1e^-(1+t)ydy

Поменяем порядок интегрирования

Если P>0,q>0 то выполн условия нужной теоремы

f(t,y)=t ^p-1y^p+q-1e^­-(1+t)y – не отрицательна непрерывна в области при

t≥0,y≥0. 1) dy=t^{p-1 p+q-1}e^-(1+t)ydy=Г(p+q)t^p-1/(1+t)^p+q- непрерывна

ф-ия по t (t>0). 2) dt=y^p+q-1e^{-y p-1}e^-tydt=Г(P)y^q-1e^-y – непр по y(y≥0)

3) dt - сх-ся

Проверим непосредственно

^p+q-1e^-ydy -e ^–tydt = Г(P)/y^pdy=Г(P) =Г(P)Г(q)

Итак из рав-ва (*) получим B(p,q)=Г(p)Г(q) для P>0, q>0