34) Соленоидальное векторное поле. Определение,

свойства, понятие векторного потенциала, примеры.

Поле A(m) называется соленоидальным векторным полем

в односвязной области D, если в любой точке этой области

его дивергенция равна нулю: diva=0

св-ва 1 Если векторное поле A соленоидально,

то поток этого поля через любую замкнутую поверхность

равен 0.

2 Если векторное поле A(м) можно представить

в виде ротора другого векторного поля A(м), которое

называют векторным потенциалом векторного поля A(м),

то поле A(м) является соленоидальным.

3. В соленоидальном поле источники и стоки отсутствуют

(так как divA(м)=0, во всех точках M) , следовательно,

векторные линии такого поля не имеют начала и конца

и либо являются замкнутыми, либо уходят в бесконечность.

35)Интегралы, зависящие от параметра, с постоянными

пределами интегрирования. Свой­ства.

Р.м f(x,y) опр. На прямоугольнике П={(x,y) a≤x≤b, c≤y≤d}

Сущ функц y такая что – интеграл зависящий

От параметра интегрирования.

Св-ва

f(x,y) непрерывна на П. тогда I(y) является непр на [c.d]

д-во

Y₀э(c,d) надо док ть что для люб Ԑ>0 сущ 𝛿(Y₀,Ԑ)>0

|y-y₀|<|I(y)-I(y₀)| < Ԑ - определение непрерывности функции

Т.к f(x,y) непр-на П-огр замкнуто С R² => f(x,y)- равномерно

Непрерывна для Ԑ>0 сущ 𝛿(Ԑ)>0 ,|x-x₀|<𝛿,|y-y₀|<𝛿

=> |f(x,y)-f(x₀,Y₀)|<

Возьмем (x₀,Y₀)|= (x₀,Y₀), (x,y)= (x,y) => |f(x,y)-f(x₀,Y₀)|<

Р\м |I(y) – I(y₀)| = |

≤

36) Интегралы, зависящие от параметра, с пределами

интегрирования, зависящими от параметра. Свойства.

Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра.

f(x,y) на Д={(x,y): a(y) ≤X≤b(y); c ≤X≤d;

f(x,y) определена на ПсД

пусть для люб Yc[c,d] сущь

-интеграл завис

От параметра с перемен пределами интегр

Т. f(x,y) – непрерывна на П с Д a(y), b(y) неп- на по [c,d], тогда I(y)

непр-на функ-ия на [c,d]

док-во

Yэ[c,d], I(y) =

Надо док ть что для люб Ԑ>0 сущ 𝛿 >0; (y-y₀)

< 𝛿 => (I₂(y)- I₂(y) )<Ԑ, р.м (I₂(y)- I₂(y))= ≤

М|b(y)-b(y₀)|<Ԑ, где М = supf(x) тк b(y) непр на [c,d]

Т.е для люб Ԑ>0 сущ 𝛿 >0; (y-y₀) < 𝛿=> b(y)-b(y₀) < c/m,

I₂ непр на [C,d]

37)Несобственные интегралы, зависящие от параметра.

f(x,y) определена на П=

для люб Y э [c,d] сущ =I(y) – интеграл зависящий от

параметра 1-го рода.

Опр сх-ся если сущь Ԑ> 0 для люб A(Ԑ, y ) > 0 при люб

B≥A, выполн неравенство | |< Ԑ

опр -равенство сх-ся если для люб Ԑ> 0 сущ A(Ԑ)>0

для люб B≥A выполн | для люб Yэ[c,d]

38)Эйлеровы интегралы. Бета-функция. Свойства.

B(p,q)= ^p-1(1-x)^q-1dx, (p>0,q>0, p.q – параметры.

При P≥1, q≥1, подинтегральная ф-ия непрерывна

Если 0<p<1 и 0<q<1, то B(p,q) – это несобственный интеграл с особыми

Точками x=0 и x=1.

B(p,q)= ^p-1(1-x)^q-1dx+ ^p-1(1-x)^q-1dx=B₂(p,q) (каждый интеграл имеет

по одной особой точке ) на [0,1/2] ф-ия (1-x)^q-1- непр-на => ограничена =>

(1-x)^q-1≤e (c=const)

Тогда X^p-1 (1-x)^q-1≤cx^{p-1 p-1}dx = c =c/p(1/2)^p

Сущ Pэ(0,1) => по признаку сравнения

B₁(p,q) – сх-ся, аналагично B₂ сх – ся при люб qэ(0.1)

Итак 1) B(p,q) определена при люб P и q, 2) B(p,q) – непрерывна

При люб p,q > 0

Достаточно убедиться в равномерности сх-ти интеграла относит P,q

Сущ фикс P₀>0, Q₀>0 при P≥ p0>0 b q≥ q0>0

Имеем. P0-1≤p-1, q0-1≤q-1 => при 0<x<1 выполн x^p-1(1-x)^q-1≤x^p0-1(1-x)^q0-1

Т.к ^p0-1(1-x)^q0-1dx- сх-ся по признаку вейштрасса

B(P,Q) сх-ся равномерно. Т.о B(p,q) – непрерывна ф-ия при P>0,

q>0

док-во B(p,q) = ^p-1(1-x)^q-1dx =| |= ^p-1t^q-1(-dt)

= ^q-1(1-t)^p-1dt=B(q,p) ч.т.д