22)Дифференцируемые скалярные поля.

Производная скалярного поля по направлению.

23) Понятие векторного поля. Геометрические

характеристики векторного поля (векторные линии).

Интегральные характеристики векторного поля (поток и

циркуляция векторного поля).

Векторное поле — это отображение

которое каждой точке рассматриваемого

пространства ставит

в соответствие вектор с началом в этой точке.

Например, вектор скорости ветра в данный момент

времени изменяется от точки к точке

и может быть описан векторным полем.

Поток векторного поля - 𝛿=(Ax,Ay,Az) ч\з пов-ть ρ

наз-ся пов-ый интегр 2го рода

где v- еденич вектор нормали S V=(cosa,cosB,cosΎ)

Циркуляция векторного поля - 𝛿=(Ax,Ay,Az) по

замкнутой кривой Ύ наз –ся, криволин интегралом 2го рода

= dxdydz

24)Дифференциальные характеристики векторного поля.

Дивергенция векторного поля.

Див вектор поля А наз ся число

˅a

25)Дифференциальные характеристики векторного поля.

Ротор векторного поля.

Вектор с координатами

Называеться вихрем или ротором вектор поля A

RotA=˅Xa=

26) Повторные операции векторного поля:

1) grad(diva); 2) div(gradF); 3) dtv(rota); 4)

rot(gradF); 5) rot(rota),

27)Основные теоремы теории поля. Теорема Грина.

Пусть G-плоская область. - ее границы

(кусочно гладкий контур) Пусть в G заданы ф-ии

P(x,y),Q(x,y) – непрерывные на G вместе со своими

частными производными

тогда - ф-ла Грина

28)Приложения формулы Грина Выражение

площади плоской фигуры через криволинейный интеграл.

Ύ₁:y=φ(x)

Ύ₂:y=ψ(x)

Р\м

Аналагично

29)Условия, при которых дифференциальная форма

“Р dx + Q dy” представляет собой полный дифференциал.

30)Основные теоремы теории поля. Теорема Стокса.

Т.Ф-ла Стокса

Пусть ф-ии P.Q.R непрерывны вместе со своими

частными производными В области G A=P.Q.R

тогда – циркуляция векторного

Поля по контуру потенц векторного поля

ч.з пов – ть S огр потенциалом

В координатной форме

=

31)Основные теоремы теории поля Теорема

Остроградского-Гavcca.

Т.Гаусса – острограцкого . пусть в GcR³ заданы ф-ии P(x,y,z), Q(x,y,z),

R(x,y,z). Непрерывна на G вместе со своими со

своими частными призво-ми , s- граница

G. Тогда dxdydz -

если

расс.ть вектор a=(P,Q,R) то

двойной интеграл по области G от div

векторного поля = потоку этого вектора

ч.з пов-ть огр данную область

32) Приложения формулы Остроградского-Гаусса.

Выражение объема через поверхностный интеграл.

Р.М

=

=

Аналогично

Складывая получим ф-лу Г-О

33) Потенциальное векторное поле.

Определение, свойства, критерий

потенциальности, понятие потенциала, примеры.

Определение (потенциального векторного поля).

Векторное поле F называется

потенциальным (или консервативным), если

оно является полем градиентов некоторой

скалярной функции, т. е. существует скалярная функция

f такая, что F = ˅f . Тогда

функцию f называют потенциалом векторного поля F .

Понятие потенциальности

Пусть f — скалярная функция двух

переменных. Вспомним с лекции 5 (модуль

«Функции нескольких переменных») что ее

градиент ˅f определяется как

˅f(x.y) = f’_x(x,y)i+ f’_y(x,y)j

Таким образом, ˅f есть, в действительности,

векторное поле в R2 и называется

векторным полем градиентов.

Аналогично, если f — скалярная функция

трех переменных, ее градиенты образуют

векторное поле в R3 , определяемое как

˅f(x,y,x) = f’_x(x,y,z)i+ f’_y(x,y,z)j+ f’_z(x,y,z)k