1.Випадкові події. Класифікація подій. Класичне значення поняття "ймовірність".Відносна частота (частість).Статистичне означення поняття "ймовірність"

Подія — результат випробування. Якщо в результаті випробування деяка подія неодмінно відбудеться, то вона називається достовірною і позначається літерою . Подія, яка в даному випробуванні не може відбутись, називається неможливою і позначається літерою V.Якщо в результаті випробування деяка подія може відбутись, а може не відбутись, то вона називається випадковою. Випадкові події позначаються літерами A, B, C, D, … Класичною імовірністю випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій : P(A)= m /n. Відношення m до n називається відносною частотою елементарної події е в даній серії з n випробувань. Відносна частота елементарної події е характеризує середню можливість її відбування у кожному з n випробувань. Статистичною ймовірністю події А називається відношення кількості m випробувань, в яких подія А відбулась, до загальної кількості виконаних випробувань n: W(A)= m /n.

2.Класичне означення імовірності події. Властивості імовірності. Теорема добутку імовірностей та наслідки з неї

Класичною імовірністю випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій : P(A)= m /n.

Властивості: Ймовірність повинна бути невід’ємна; ймовірність вірогідної події дорівнює 1; ймовірність попарно несумісних подій дорувнює сумі ймовірностей цих подій; ймовірність події, протилежної данній дорівнює різниці 1 та ймовірності цієї події; ймовірність номожнивої події дорівнює нулю; ймовірність суми двох довільний подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх добітку; ймовірність події А, яка спричинює подію В, не більша за ймовірність події В і ймовірність різниці В-А дорівнює різниці ймовірностей В та А; ймовірність будь-якої події може набувати значень від 0 до 1. Нехай подія А є добутком двох подій В і С. Тоді: а) якщо події В і С незалежні, то P(A)=P(BC)=P(B)*P(C); б) якщо події В і С залежні, то P(A)=P(BC)=P(B)*P(C/B).

3.Довести теорему суми імовірностей та 3 наслідки з неї

Теорема: Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі іморвіностей цих подій, тобто

Р(А+В) = Р(А)+Р(В) Сумою подій А і В називає подія С, яка полягає у здійсненні під час одиничного випробування або подій А, або події В, або обох разом. Суми 2-ох подій позначають С=А+В, або С=АВ. Доведення: Нехай в результатів деякого випробування відбувається n елементарних подій. Зобразимо ці події n точками: Нехай з усіх n подій подія А сприяють m подій, а події В – h подій. Тоді імовірність події А є Р(А). Оскільки події А і В несумісні, то немає подій. Які б одночасно сприяли обом подіям А і В. Очевидно, що події А +В сприяють m+Р подій. Тому Р(А+В) . Підставляючи значення Р(А), Р(В), Р(А+В) у рівність (1), дістанемо тотожність, що і доводить теорему. Р(А1+А2+...+Аn) = Р(А1)+Р(А2)+...+Р(Аn) З теореми додавання випливають два наслідки. Сума імовірностей несумісних подій, що утворюють повну групу, = 1. Дві події називаються протилежними, якщо одна і лише одна з них обов’язково здійсниться в даному випробуванні.

Сума імовірностей протилежних подій дорівнює одиниці, тобто Р(А) + Р(В)=1