33. Эффективность шага в задаче динамического программирования. Как оценивается эффективность всего процесса в задаче динамического программирования? Поясните обозначения.

Ответ: Эффективность шага определяется по формуле z_i*(s_i)=max(f_i+1(s_i,u_i+1)+z*­_i+1(s_i+1)). Эффективность всего процесса находится по формуле z= , где s_i – промежуточное состояние системы, u_i – управление на i-ом шаге

34. Дайте определение функций Zk(Sk) в задаче динамического программирования. Поясните обозначения.

Ответ: Функция z_k(s_k) – это функция эффективности на k-ом шаге, находится по формуле , где s_i – промежуточное состояние системы, u_i – управление на i-ом шаге

35. Запишите уравнения Беллмана для общей задачи динамического программирования. Поясните обозначения. В каком порядке их решают?

Ответ: Формулы, называемые уравнениями Беллмана, записываются в виде

z*_n-1(s_n-1)=maxf_n(s_n-1,u_n)

z*_n-2(s_n-2)=max(f_n-1(s_n-2,u_n-1)+z*_n-1(s_n-1))

… … … … …

z*₀(s₀)=max(f₁(s₀,u₁)+z₁*(s₁)), где s_i – промежуточное состояние системы, u_i – управление на i-ом шаге

Процесс решения задачи начинается с оптимизации последнего шага, что называется обратным ходом вычислений и свойственно многим задачам динамического программирования.

36. Непрерывная задача о распределении средств между предприятиями. Постановка задачи. Уравнения Беллмана.

Ответ: Планируется работа двух предприятий на n лет. Начальные ресурсы равны S₀. Средства х, вложенные в 1-е предприятие в начале года, дают в конце года прибыль f₁(x), и возвращаются в размере φ₁(x). Средства у, вложенные в 2-е предприятие в начале года, дают в конце года прибыль f₂(y) и возвращаются в размере φ₂(y). В конце года возвращенные средства заново перераспределяются между отраслями. Определить оптимальный план распределения средств и найти максимальную прибыль.

Доход:

Уравнение состояний:

Формулы, называемые уравнениями Беллмана, записываются в виде

z*_n-1(s_n-1)=maxf_n(s_n-1,u_n)

z*_n-2(s_n-2)=max(f_n-1(s_n-2,u_n-1)+z*_n-1(s_n-1))

… … … … …

z*₀(s₀)=max(f₁(s₀,u₁)+z₁*(s₁)), где s_i – промежуточное состояние системы, u_i – управление на i-ом шаге

37. Дискретная задача о распределении средств между предприятиями. Постановка задачи. Уравнения Беллмана.

Ответ: Планируется работа n предприятий на 1 год. Начальные средства равны S₀ тыс. у.е., а вложения кратны 1 тыс. у.е. При этом x тыс. у.е., вложенные в k -е предприятие в начале года, дают в конце года прибыль f_k(x). Определить оптимальный план распределения средств и найти максимальную прибыль.

S_k-1 - средства, оставшиеся после k-ого предприятия.

для 3 тыс. у.е.

U_k - средства, вложенные в k+1 предприятие

S_k - средства, оставшиеся после k+1 предприятия

38. Постановка задачи выпуклого программирования. Условие регулярности. Теорема Куна-Таккера.

Ответ: Задача математического программирования с нелинейной целевой функцией называется задачей выпуклого программирования

Пусть X задано системой неравенств . Эта система должна удовлетворять условиям:

1) все функции g_i – линейные, i=1,..,k

2) все h_j – вогнутые и дифференцируемые на Х, j=1,…,l

3) в множестве Х существует точка , такая что для любого h выполняется неравенство h_j >0 – это соотношение называется условием регулярности Слейтера.

Теорема Куна-Таккера: Пусть дана вогнутая и дифференцируемая на Х функция y=f(x₁,…,x_n). Определим функцию Лагранжа L(x₁,…,x_n,λ₁,…,λ_k,μ₁,…,μ_l) = f(x₁,…,x_n) + λ₁g₁+…+λ_kg_k+μ₁h₁+…+μ_lh_l. Функция f принимает свое наибольшее значение на X в некоторой точке тогда и только тогда для нее выполняется следующая система уравнений: