24. Предмет теории игр. Примеры игровых моделей в экономике.

Ответ: На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Такие ситуации называются конфликтными, математической моделью которых является теория игр. При этом сама модель – это игра, участники – игроки, исход – выигрыш. Цель теории игр – определение оптимальной стратегии для каждого игрока.

25. Антагонистическая игра двух лиц с нулевой суммой. Платежная матрица.

Ответ: Игра называется игрой с нулевой суммой, или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого.

Пусть имеет место игра между двумя игроками – A и B. Цена игры – 1 ден.ед., возможные стратегии – A₁,A₂,B₁,B₂. Платежная матрица будет иметь вид .

26. Оптимальные стратегии игроков. Верхняя и нижняя цена игры и соотношение между ними.

Ответ: Оптимальная стратегия – при многократном повторении игры обеспечивает игроку максимально возможный выигрыш. Оптимальные стратегии должны удовлетворять условию устойчивости: любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в игре.

Рассмотрим матрицу m*n. Выбирая стратегию, игрок А должен знать, что игрок В ответит на нее одной из стратегий B_j, при которой выигрыш для А минимален. Пусть α_i – наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии A_i для всех возможных стратегий игрока В. Тогда гарантированный выигрыш игрока А при любой выбранной игроком В стратегии составит . α – нижняя цена игры, а соответствующая стратегия – максиминной. Игрок В хочет уменьшить выигрыш А (увеличить свой выигрыш), поэтому выбирая стратегию B_j, он учитывает максимально возможный выигрыш для А. Среди всех B_j игрок В выберет ту стратегию, которая даст самый маленький выигрыш для А. . – верхняя граница, гарантированный проигрыш игрока В, стратегия – минимаксная.

Теорема: α≤β

27. Игра с седловой точкой. Решение игры в чистых стратегиях. Приведите примеры игр с седловой точкой.

Ответ: Пара чистых стратегий A_i и B_j дает оптимальное решение тогда и только тогда, когда соответствующий элемент a_ij платежной матрицы является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Если такая ситуация существует, то оптимальное решение A_i B_j называется седловой точкой.

Игра, имеющая седловую тоску, называется игрой в чистых стратегиях.

28. Смешанные стратегии. Свойство оптимальности. Теорема Неймана.

Ответ: Если игра не имеет седловой точки, т.е. α<β, то оптимально решение можно получить случайным образом, чередуя чистые стратегии. Такая ситуация называется игрой со смешанной стратегией.

Смешанной стратегией игрока А называется применение чистых стратегий A₁,…,A_m с вероятностями p₁,…,p_m, т.е. S_A= . Аналогично для игрока В:

S_B= .

Свойство оптимальности: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому должно быть невыгодно отступать от своей оптимальной стратегии

Теорема Неймана: Каждая конечная игра имеет по крайней мере одно оптимальное решение, которое, возможно, находится среди смешанных стратегий.